两类发展型反问题的收敛性分析

发布时间：2020-05-15 16:21

【摘要】：抛物型方程反问题是数学物理反问题的一个重要分支,也是工业应用中的一个古老问题。如物质扩散系数(热量传导系数)的确定、源/汇项的反演以及边界处交换系数的确定等问题,都是工业应用中的实际问题。20世纪70年代以来,不少数学家对此类问题研究做了大量的工作,如Cannon,Rundell,DuChateau,Isakov以及Beck等,使得抛物型方程相关反问题研究受到人们越来越多的关注。本文主要考虑了两类发展型方程最优解的收敛性。研究在适当的附加条件下正则化问题解的存在性和收敛性以及运用全变差正则化方法研究解的存在性、唯一性与稳定性。本文主要分为以下五个章节:第一章是绪论部分,主要简述了偏微分方程反问题的一些研究背景和国内外有价值的研究现状,尤其是对抛物型方程系数反问题的研究做了详细的介绍。第二章主要考虑了一类优化问题的收敛性。该问题的标的方程是一个二阶非散度退化抛物型方程,亦即方程中的首项系数在区域边界处退化为零。文中的最大困难在于主项系数是未知的,而方程的退化程度通常是由主项系数的性质所决定的。另一方面,为了讨论退化方程,通常需要引入一些赋权的Sobolev空间,而这些空间也是与主项系数相关的。为了克服这一困难,引入了一些新的源条件,并对主项系数的允许函数类附加了较强的正则性条件,最终成功地证明了最优解的收敛性。第三章主要研究了一类利用终端观测值重构二阶Schrodinger方程零阶项系数的反问题。Schrodinger方程最大的特点在于它的解是复值函数并且该模型的正问题是线性的,但反问题却是非线性且严重不适定的。基于最优控制理论框架,将原问题转化为一个最优控制问题,利用Gateaux导数理论和Poincare不等式得到了带有误差扰动的输入数据极小元的收敛性。第四章研究了一类利用附加条件重构二阶退化抛物型方程辐射系数的反问题。基于最优控制理论,并利用全变差正则化方法,将原问题转化为一个优化问题。文中的附加条件并非通常意义下的终端观测值,而是平均意义下的观测数据。由于全变差的不可微性,很难处理控制问题唯一最优解的证明。为了克服这一困难,引入了一个磨光全变差正则化项,进而讨论了最优解的存在性和所满足的必要条件,最后利用能量估计及得到的必要条件,在假设终端时刻比较小的情况下,成功地证明了极小元的唯一性和稳定性。第五章是总结与展望部分。后续的工作主要从两方面考虑:一方面本文研究对象是一维的,以后将考虑高维的情形。另一方面对于本文的问题可以考虑从带TV型罚项方向研究。
【学位授予单位】：兰州交通大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.26

【参考文献】