含非局部项椭圆型方程解的存在性及其性态研究

发布时间：2020-05-30 16:14

【摘要】：本文主要研究三类含非局部项的椭圆方程(系统)解的存在性及其性态,其中包括Choquard型方程,含分数阶Laplacian算子的Choquard型方程以及Schr(?)dinger-Poisson 系统.本文共分五章:在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们首先证明下列含Hardy-Littlewood-Sobolev临界指标的Choquard型方程-△u =(Iα*|u|2a*)|u|2a*-2u,u ∈ D1,2(RN)(Q1)的每个正解都是径向对称,关于某点单调递减且形式如cα(t2 + |x-x0|2)2,这里 V3,α ∈(0,N),2a*=N+a/N-2是关于于Hardy-Litttewood-Soboolv不等式的上临界指标,常数t0且ca0依赖于α.我们也研究了下列Choquard方程-△u + V(x)u =(Iα*|w|2a*)|u|2α-2u,u ∈ D1,2(RN).(Q2)利用含Riesz位势的集中紧性原理,我们得到一个全局紧性结果,确切来说,我们给出方程(Q2)的能量泛函对应的(PS)序列的一个完整描述.利用这样一个性质,我们成功证明当||V(x)||LN/2充分小时,方程(Q2)至少有一个正解.此结果将Benci和Cerami(J.Funct.Anal.,88,90-117(1990))考虑半线性 Schr(?)dinger 方程时得到的结果推广至Choquard方程.在第三章中,我们考虑下列分数阶Choquard方程(-△)su + λV(x)u =(Iα*F(u))f(w),x∈RN,(Q3)这里s ∈(0,1),,N≥2,,α ∈((N-4s)+,N),参数λ0,位势函数V(x)非负且连续.利用变分方法,我们得到了方程(Q3)基态解的存在性并且证明当参数λ充分大时,基态解会集中在位势阱int(V-1(0))的底部附近.上述结果已经发表在Math.Methods Appl.Sci.,41,1145-1161(2018).在第四章中,我们研究下列分数阶Schr(?)dinger-Poisson系统变号解的存在性及其渐近行为{(-△)su + V(x)u + λΦ(x)u = f(u),x ∈ R3,(Q4)(-△)tΦ = w2,x ∈ R3,(Q4)这里s,∈(0,1),参数λ0,位势函数V(x):R3 → R+满足连续性条件.因为此系统(Q4)中包含多个非局部项,我们将引入新的技巧来证明此系统存在一个极小能量变号解μλ.进一步,我们还证明此系统(Q4)的任意变号解的能量严格大于两倍的基态能量.当λ→ 0+时,μλ的渐近行为也被研究.上述结果将Wang和Zhou(Calc.Var.Partial Differential Equaions.,52,927-943(2015)),Shuai 和 Wang(Z.Angew.Math.Phys.,66,3267-3282(2015))研究 Schr(?)dinger-Poisson 系统得到的结果推广至分数阶Schr(?)dinger-Poisson系统.上述结果已被Appl.Annal.接收并在线发表.在第五章中,我们考虑如下分数阶Schr(?)dinger-Poisson系统正解的存在性{ε2s(-△)su + V(x)u + Φ(x)u = K(x)f(u)+ |u|2s*-2u,x ∈ R3,(Q5)(Q5)ε2s(-△)sΦ = u2,x ∈ R3,这里s ∈(3/4,1),参数ε0,位势函数V(x),K(x)非负.2s*是分数阶Sobolev嵌入定理对应的临界指标.对非线性项f和位势函数V(x),K(x)提适当条件,我们证明当参数ε充分小时,系统(Q5)存在一个正的基态解且基态解集中于给定的某个与位势函数V(x)和K(x)相关的集合中.这个结果推广了 Yu等(Calc.Var.Partial Differential Equations,56,(2017))研究次临界指数增长的分数阶Schr(?)dinger-Poisson系统的工作.当V(x)达到最小值且K(x)达到最大值,我们还利用Ljusternik-Schnirelmann畴数理论证明系统(Q5)存在多个正解.
【学位授予单位】：华中师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.25

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本文编号：2688385