平面调和映射与极小曲面中若干问题的研究

发布时间：2020-06-01 21:11

【摘要】：1984年,Clunie和Sheil-Small得到了若干关于单叶调和映射与共形映射中经典问题的类比结果,自此以后,平面调和映射一直倍受关注,并发展成为一个热门的研究课题.调和映射很早就被用来表示极小曲面,而极小曲面是微分几何中一类非常重要的曲面,它的研究涉及到几何学、代数学及拓扑学等诸多的学科领域,极小曲面在理论研究和工程技术等方面也有广泛应用和重要意义.本学位论文主要研究复平面上的调和映射族的卷积的单叶性、通过调和映射来构造极小曲面、调和线性微分算子的完全凸和全星形半径、对数调和映射的基本性质,如:系数估计、增长定理和偏差定理等.本论文共分为六章,具体安排如下:第一章,介绍了一些相关的记号和定义.此外,我们还阐述了所研究问题的背景及主要结果.第二章,首先得到了右半平面调和映射的卷积沿实轴凸的几个充分条件.然后我们考虑分别具有伸缩商为(z+a)/(1+az)和e~(iθ)z~n的两调和映射族的卷积,其中-1a1,θ∈R,n∈N,并证明了当n=1时,这两个函数族的卷积是局部单叶的.从而部分解决了Dorff等人~([21])提出的问题,并列表说明当n≥2时这类卷积不是单叶的.第三章,首先利用Cohn’s法则和数学归纳法证明了一般化的右半平面调和映射与垂直条形带的调和映射的卷积是单叶且沿实轴凸的.然后利用Gauss-Lucas定理证明最近由Kumar等人提出的有关右半平面调和映射与垂直条形带调和映射卷积的猜想.第四章,构造了一些取不同的伸缩商且沿实轴方向凸的单叶、保向的调和映射,我们也得到了与这些调和映射相关的一些极小曲面.解决了最近由Dorff和Muir提出的猜想.当伸缩商为解析函数的平方时,我们利用Mathematica软件画出这些调和映射提升到相应的极小曲面的图像.第五章,设f=h+(?)∈H为一调和映射,我们首先得到调和微分算子(?)的α-阶完全星象和α-阶完全凸精确半径.更一般地,我们研究了h和g满足特定系数条件的调和线性微分算子F_λ(z)=(1-λ)f+λD_f~?(|?|=1)的单叶、完全星象、完全凸的半径,其中有些结论是对Kalaj等人~([79])所做工作的推广和改进.第六章,考虑定义在单位圆盘D上的经典的单叶对数调和映射(?).首先,得到了复值连续函数在单位圆盘上星象或凸的充要条件.其次,就如何构造对数调和Koebe函数、右半平面对数调和映射、双裂缝对数调和映射作了详尽地介绍,并证明这些映射像域的精确性.接下来对单叶星象对数调和函数的系数进行估计,对对数调和映射的特殊子类的增长定理和偏差定理也进行了研究.最后,提出类似于经典的解析函数的对数调和映射的Bieberbach猜想和对数调和映射的覆盖定理.
【学位授予单位】：湖南大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O174.51

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本文编号：2692072