图的正则覆盖计数与Cayley地图的亏格分布
发布时间：2020-06-04 19:59
【摘要】：图的正则覆盖理论是代数图论和拓扑图论中一种非常重要的工具和方法.近年来,这种方法被大量的应用于对称图和对称地图的构造中.自从Hofmeis-ter于1988年得到了连通图双层覆盖的计数,图的正则覆盖计数问题就引起了国内外学者的广泛关注.另一方面,地图计数与亏格分布一直以来都是拓扑图论的核心研究内容之一,国内外学者也在此问题上得到了丰富的结果.因此基于这两方面内容,本文主要致力于研究以下三个问题:在给定覆盖变换群下的图正则覆盖计数问题,地图计数尤其是Cayley地图的亏格分布以及图的有向嵌入问题,一类群下的正则t-平衡Cayley地图的分类问题.目前这些方面的研究在国际上已成为研究群、图、地图等不同数学分支交叉领域一个较热的课题.我们力求紧跟国际最新进展,解决一些相关问题.本文的结构如下:第一章是绪论部分,其中第一节主要介绍了图的正则覆盖计数与地图亏格分布的研究背景,第二节给出了本文用到的相关概念和知识,第三节为本文的结构.第二章,首先给出了循环群的Z2-扩张的分类,然后利用图正则覆盖计数公式得到了覆盖变换群是循环群Z2n-1的Z2-扩张的图正则覆盖计数公式,并由此得到了覆盖变换群是任意循环群的Z2-扩张的图正则覆盖计数公式.最后确定了覆盖变换群是广义二面体群或广义双循环群的图正则覆盖计数公式.第三章,给出了任意循环群的Zp-扩张(p为奇素数)的分类,并由此得到了覆盖变换群是任意循环群的Zp-扩张(p为奇素数)的图正则覆盖计数公式.第四章,首先给出计算Cayley地图亏格的公式,其次利用此公式计算了网络中几类比较著名的图类的Cayley地图亏格多项式.第一节得到了星图、冒泡排序图、超立方体的Cayley地图亏格多项式,第二节得到了交错群网络的Cayley地图亏格多项式,第三节给出了多维环面的Cayley地图亏格多项式.第五章,基于有向嵌入、Steiner三元系和电流图的概念和性质以及前人的结果,利用电流图的方法证明了顶点为n的竞赛图,当且仅当n ≡ 3或7(mod 12)时,可有向嵌入到亏格为(?)的可定向曲面.这个结果部分回答了Bonnington等人在[J.Combin.Theory Ser.B,2002(85):1-20]给出的下列问题:哪些顶点为n的竞赛图可有向嵌入到亏格为(?)的可定向曲面,即Kn的亏格.第六章,基于正则Cayley地图的性质以及已知的结果,得到了两个二面体群直积上的正则t-平衡Cayley地图分类的部分结果.最后一章总结了本文的结果并提出了进一步研究的问题.
【图文】：
逦覆环Ｚ２－张的图正则覆盖（ｉ）逦ａ逦ａ＇，ｂ逦ｂ，逡逑（ｉｉ）逦ａ逦ａ＇，ｂ邋＾邋ａ２＂邋￣ｂ，逡逑（ｉｉｉ）逦ａ逦ａ＇ｂ，邋ｂ逦ｂ，逡逑（ｉｖ）逦ａ邋ｈ－）邋ａ＇ｂ，ｂ逦ｔ－＞邋ａ２＂逦ｂ．逡逑这四种形式中，ｃｒ（ｆｌ）和都满足Ｍ２ｎ的定义关系，因此分别计算在这四情况下ｃｒ（ａ）和ｃｒ0）的可能形式可得丨Ａｕｔ（Ｍ２ｎ）｜邋＝邋２ｎ．逡逑由（ａｌ）２邋＝邋ｆ邋＿可得若ｉ‘是偶数则ｏ（Ｗ）邋＝邋２；若／是奇数则ｏ（ａＡ）邋＝邋４．因可以设ｃｒ为ａ邋＾邋ａＡ其中（／，２＂＿１）邋＝邋１且／是偶数．因为ｃｒ是群自构，所以所有和（Ｔ（的都应满足ＳＤ２？的定义关系，于是通过对满足的邋ｃｒ邋计数可得丨Ａｕｔ邋（ＳＤ２ｎ）｜邋＝邋２２ｎ—４．特别地，若ｎ邋＝邋３，则｜Ａｕｔ（Ｑ８）｜邋＝邋２４，注意这种情况没有包含在上述引理中．２．２，引理２．６和引理２．７可以证明下面的定理．逡逑Ｑ２ｎ逡逑
下面我们用Ｍｂｂｉｕｓ函数来计算Ｉｓ0Ｃ（Ｇ；ｒ）．可以证明广义四元数群Ｑ２＞■的子逡逑群为邋Ｚ２ｍ邋或者邋Ｑｇ，不妨设邋＝邋＜，＋＇〉，Ｑｇ邋＝逦⑴其中邋ｍｅ｛ｌ，．．．，ｎ－ｌ｝以逡逑＿Ｓｆｅ｛０，．．．，，２”－ｍ－ｌ｝．从Ｑ２”的子群格（见图２．１）可得逡逑１逦５邋＝邋Ｑ２？，逡逑一邋１逦或＾N，逡逑＂逦—，２逦５邋＝邋Ｚ２？－２，逡逑０逦其他．逡逑由定理２．３可得逡逑定理２．１１如果ｒ为２ｎ阶的广义四元数群Ｑ２ｎ，那么逡逑ｆ邋１（２胡＿３邋－邋３邋－邋２明－３邋＋邋２卜２）逦如果邋ｎ邋＝邋３，逡逑Ｉｓｏｃ（Ｇ；ｎ邋＝邋｛邋３，逡逑［＾Ｊ（２你邋＿邋３邋？邋２＂（ｎ＿１）邋＋邋２卿－２）＋１）如果邋ｎ邋＞邋３，逡逑易证上面的结果和定理２．１０的结果相同．逡逑Ｚ２＾－．逡逑２逦ｍ＾＿２逦ｍ＾＿２逡逑Ｚ４逦Ｍｉ０）逦Ｍｉ１）逡逑ｚ？）逦Ｚｐ）逡逑１逡逑图２．２：邋Ｍ２ｎ的子群格．逡逑Ｆｉｇｕｒｅ邋２．２：邋Ｔｈｅ邋ｓｕｂｇｒｏｕｐ邋ｌａｔｔｉｃｅ邋ｏｆ邋Ｍ２＂．逡逑如果ｒ邋２邋Ｍ２ｎ，那么Ｍｙ的子群ｖＳ同构于４或者Ｍｇ，其中ｍ邋ｅ邋｛２，．．．，ｎ邋－邋１｝，逡逑＊？邋＝邋０
【学位授予单位】：北京交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O157.5
本文编号：2696901
【图文】：
逦覆环Ｚ２－张的图正则覆盖（ｉ）逦ａ逦ａ＇，ｂ逦ｂ，逡逑（ｉｉ）逦ａ逦ａ＇，ｂ邋＾邋ａ２＂邋￣ｂ，逡逑（ｉｉｉ）逦ａ逦ａ＇ｂ，邋ｂ逦ｂ，逡逑（ｉｖ）逦ａ邋ｈ－）邋ａ＇ｂ，ｂ逦ｔ－＞邋ａ２＂逦ｂ．逡逑这四种形式中，ｃｒ（ｆｌ）和都满足Ｍ２ｎ的定义关系，因此分别计算在这四情况下ｃｒ（ａ）和ｃｒ0）的可能形式可得丨Ａｕｔ（Ｍ２ｎ）｜邋＝邋２ｎ．逡逑由（ａｌ）２邋＝邋ｆ邋＿可得若ｉ‘是偶数则ｏ（Ｗ）邋＝邋２；若／是奇数则ｏ（ａＡ）邋＝邋４．因可以设ｃｒ为ａ邋＾邋ａＡ其中（／，２＂＿１）邋＝邋１且／是偶数．因为ｃｒ是群自构，所以所有和（Ｔ（的都应满足ＳＤ２？的定义关系，于是通过对满足的邋ｃｒ邋计数可得丨Ａｕｔ邋（ＳＤ２ｎ）｜邋＝邋２２ｎ—４．特别地，若ｎ邋＝邋３，则｜Ａｕｔ（Ｑ８）｜邋＝邋２４，注意这种情况没有包含在上述引理中．２．２，引理２．６和引理２．７可以证明下面的定理．逡逑Ｑ２ｎ逡逑
下面我们用Ｍｂｂｉｕｓ函数来计算Ｉｓ0Ｃ（Ｇ；ｒ）．可以证明广义四元数群Ｑ２＞■的子逡逑群为邋Ｚ２ｍ邋或者邋Ｑｇ，不妨设邋＝邋＜，＋＇〉，Ｑｇ邋＝逦⑴其中邋ｍｅ｛ｌ，．．．，ｎ－ｌ｝以逡逑＿Ｓｆｅ｛０，．．．，，２”－ｍ－ｌ｝．从Ｑ２”的子群格（见图２．１）可得逡逑１逦５邋＝邋Ｑ２？，逡逑一邋１逦或＾N，逡逑＂逦—，２逦５邋＝邋Ｚ２？－２，逡逑０逦其他．逡逑由定理２．３可得逡逑定理２．１１如果ｒ为２ｎ阶的广义四元数群Ｑ２ｎ，那么逡逑ｆ邋１（２胡＿３邋－邋３邋－邋２明－３邋＋邋２卜２）逦如果邋ｎ邋＝邋３，逡逑Ｉｓｏｃ（Ｇ；ｎ邋＝邋｛邋３，逡逑［＾Ｊ（２你邋＿邋３邋？邋２＂（ｎ＿１）邋＋邋２卿－２）＋１）如果邋ｎ邋＞邋３，逡逑易证上面的结果和定理２．１０的结果相同．逡逑Ｚ２＾－．逡逑２逦ｍ＾＿２逦ｍ＾＿２逡逑Ｚ４逦Ｍｉ０）逦Ｍｉ１）逡逑ｚ？）逦Ｚｐ）逡逑１逡逑图２．２：邋Ｍ２ｎ的子群格．逡逑Ｆｉｇｕｒｅ邋２．２：邋Ｔｈｅ邋ｓｕｂｇｒｏｕｐ邋ｌａｔｔｉｃｅ邋ｏｆ邋Ｍ２＂．逡逑如果ｒ邋２邋Ｍ２ｎ，那么Ｍｙ的子群ｖＳ同构于４或者Ｍｇ，其中ｍ邋ｅ邋｛２，．．．，ｎ邋－邋１｝，逡逑＊？邋＝邋０
【学位授予单位】：北京交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O157.5
【参考文献】
相关期刊论文 前4条
1 杨艳;郝荣霞;;扇图在曲面上嵌入的分类[J];应用数学学报;2008年05期
2 杨艳;刘彦佩;;两类四正则图的完全亏格分布[J];数学学报;2007年05期
3 朱子龙;刘彦佩;;两类图的亏格分布[J];沈阳师范大学学报(自然科学版);2006年01期
4 万良霞;刘彦佩;;一类新图类的可定向嵌入的亏格分布[J];北京交通大学学报;2005年06期
本文编号：2696901
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