预解算子的性质及其在分数阶发展系统中的应用

发布时间：2020-06-17 12:02

【摘要】：分数发展方程能广泛应用于描述具有记忆和遗传特性的物理问题,近年来该类方程已经成为热门的研究话题.在描述粘弹性材料以及在定义包含稳定性、可观性和可控性在内的状态空间时Riemann-Liouville型分数导数或Hilfer型分数导数(广义Riemann-Liouville型分数导数)比Caputo型分数导数更适宜.因此,本文着重考虑Riemann-Liouville型分数发展系统与Hilfer型分数发展系统.另一方面,预解是半群的推广且在研究抽象的Volterra方程及分数阶发展方程解时是十分方便和有效的.因此,本文主要任务是研究预解的性质(包括稳定性、从属原理、逼近、紧性)以及与预解相关算子的性质(包括连续性、紧性)并利用这些性质来研究Riemann-Liouville型分数发展系统的逼近控制以及Hilfer型分数发展系统的时间最优控制.本论文安排如下:第一章介绍了所讨论问题的研究背景以及本篇论文的研究内容.第二章总结了本文所需要的预备知识,包括分数微积分以及Mittag-Leffler函数的定义和重要结果,半群与预解的定义以及重要性质,集值分析里的一些定义和重要结论.第三章考虑了与参数h相关的预解族{Rh(t)}t0的一致稳定性.我们首先利用傅里叶分析的方法建立了{Rh(t)t≥0的GGP型定理并且提出了保证{Rh(t)}t≥0一致稳定的一些条件.其次,在合适条件下,我们基于GGP型定理和预解的对偶理论证明了弱LP稳定性能蕴含一致稳定性.本章结论推广了与h相关的C0-半群族{Th(t)}t≥0)以及与参数无关的预解族{R(t)}t≥0的一致稳定性结果.第四章研究了β阶γ型预解{TTβ,γ(s)}s0的从属原理与逼近.我们首先引入预解是s≥s0(s00)的指数有界的概念并给出保证预解是s≥s0的指数有界的一些条件.然后,我们利用这些条件以及概率密度函数来建立{Tβ,γ(s)}s0的从属原理.其次,在A生成的β阶γ型预解是s≥s0的指数有界的假设下,利用判别预解是s≥s0的指数有界的条件证明了kA(k≥ 0)也生成β阶γ型预解{Tβkγ(s)}s.此外,我们也研究了{Tβ,γk(s)}s0的逼近.所建立的从属原理为Hilfer分数发展方程与Riemann-Liouville分数发展方程的应用提供了方便且所获得的预解的逼近定理为用Meyer逼近研究这两种方程的时间最优控制问题提供了保证.第五章联合预解、积分压缩以及空间分解的方法来讨论Hilbert空间H中下列系统的逼近可控问题:其中A:D(A)(?)H→H是α阶预解{Tα(t)}t0的生成元,f:J ×H→H是具有正则积分压缩假设的非线性泛函,u∈L2(J;U)且B∈L L2(J;U);L2(J;H)这里J =[0,b]且 U是 Hilbert 空间.在算子t1-αTα巴(t)适当的假设下,我们首先利用预解性质来给出适度解的概念并利用积分压缩条件讨论了解的存在唯一性.其次,利用空间分解的方法研究了逼近控制问题.最后呈现例子说明所给条件的合理性.我们强调这种联合预解、积分压缩、空间分解的方法可以适用于Hilbert空间中整数阶发展系统以及Caputo或Riemann-Liouville型分数发展系统.第六章分析了Banach空间V中具有β阶Riemann-Liouville分数导数的下列抽象时滞发展系统的逼近控制:其中0β1,A生成β阶预解{Rβ(t)}t0,φ在[-r,0]上连续,y(t)=T(β)t1-βy(t)对任意t ∈ J:=[o,b]成立,y(0)= limy(t),yt(θ)=y(t +θ)对t∈J与[-r,0]成立,f是不具有Lipschitz条件的非线性函数且u∈Lp(J;u),B∈L(Lp(J;U);Lp(J;V)(p1/β),这里U是Banach空间.首先,利用预解方法和卷积技巧刻画了该时滞发展系统适度解的定义.其次,利用预解理论研究了该系统解集的拓扑结构(紧性和Rδ属性).然后,在非线性项没有Lipschitz假设下利用解集的拓扑结构和预解方法来研究该系统的逼近可控性.最后,利用所获得的理论结果处理一类分数扩散系统.我们的结果推广和延伸了已有的相关文献且我们的方法可以适用于Banach空间整数阶以及Riemann-Liouville或Caputo分数发展系统.第七章利用β阶γ型预解的逼近理论与Meyer逼近方法去研究Banach空间V中下列系统的时间最优控制:其中0β1,0 ≤ γ ≤ 1,记号Jtγ(1-β)表示γ(1-β)阶分数积分算子,A生成s ≥ s0(s00)的指数有界的β阶γ型预解{Tβ,γ(t)}t0,f:[0,T]×V→V是不具有Lipschitz条件的连续函数,Vad是可允许的控制集,B ∈ L∞([0,T],L(Y,V)),这里Y是自反可分的Banach空间.首先,我们利用卷积技巧和预解理论给出了该系统适度解的定义.其次,在适当条件下,利用Schauder定理与预解的类半群属性(类似半群属性的性质)研究了该系统适度解的存在性,此时适度解唯一性不能保证.然后,在非线性项.f不具有Lipschitz条件下,借助于第四章所获得的β阶7型预解的逼近理论,利用两次构建极小化序列的方法(首先对固定的控ω构造状态的极小化序列,然后构造控制的极小化序列)获得了Meyer问题Pε最优状态-控制对.再次,借助于β阶γ型预解的逼近理论和Meyer问题Pε的解,利用Meyer逼近方法去研究该系统的时间最优问题.最后,给出实例说明本文所获得的理论的可用性.本章为优化理论提供了新方法且所获得结论推广了已有的相关文献.第八章总结本文所获得的结论并给出了以后的研究方向.
【学位授予单位】：扬州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O152;O175;O231;O177

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