Lyapunov指数的逼近性质及其应用

发布时间：2020-06-19 22:49

【摘要】：本文主要研究了 Lyapunov指数的逼近理论,包括被周期点处的Lyapunov指数逼近和被限制在马蹄上的指数逼近.同时还探讨了它在非一致Livsic定理和谱半径的连续性等方面的应用.我们的第一个工作研究了矩阵上链(Cocycle)的Lyapunov指数的周期逼近问题.主要考虑的是完全不可逆情形,即动力系统f:X→ X和上链A都不可逆.我们证明了如果动力系统f有足够的双曲性,则A关于一个遍历测度的Lyapunov指数可以被周期点处的Lyapunov指数逼近.随后我们用第一个结果证明了非一致双曲系统的矩阵上链的Livsic定理.即对于非一致双曲系统f:M → M,μ是双曲测度,若上链A:M→ Md(R)满足A(fn-1p)… A(fp)A(p)= Id,(?)p ∈ M,n ≥ 1,且 fnp = p,则上同调方程A = C o f · C-1有可测解,即存在可测映射C:M → GL(d,R)使得对μ-几乎所有的x ∈ M有A(x)= C(fx)C(x)-1.值得注意的是我们的结果并不要求μ是遍历的.接下来我们用周期逼近的结果证明了联合谱半径和广义谱半径(定义见1.2.3节)关于上链是连续的.即若系统f有足够的双曲性(满足封闭性质),则联合谱半径函数关于Holder连续上链是连续的.而对于广义谱半径函数的连续性,我们证明了推广的Berger-Wang公式,即联合谱半径等于广义谱半径.传统的联合谱半径和广义谱半径的定义考虑的是全移位系统,我们这里考虑的是对一般的系统,且用奇异值函数代替范数定义的联合谱半径.然后我们考虑了 Banach空间上的上链,证明了拟紧的Banach上链的Lyapunov指数可以被周期点的Lyapunov指数逼近.对于一般的Banach 上链,Kalinin和Sadovskaya在[1]中给出了一个无法周期逼近的反例.我们这里证明了对于拟紧的Banach上链可以有周期逼近.最后我们证明了对于正熵系统,拟紧的Banach上链关于双曲测度的Lyapunov指数可以被限制在马蹄上的指数逼近.我们证明了马蹄的存在性,同时在马蹄上有控制分解且上链在其上的增长率与上链关于双曲测度的Lyapunov指数很接近.
【学位授予单位】：苏州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O174.41

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本文编号：2721447