Laplace方程边值问题的一种数值解法

发布时间：2020-06-26 17:32

【摘要】：Laplace方程,又称调和方程、位势方程,由法国数学家拉普拉斯首先提出。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题。本文主要考虑二维单联通区域上的Laplace方程边值问题。它出现在许多科学领域和工程应用,如等离子体物理地球物理学无损检测和心脏病学。近年来,为了解决这个问题已经提出了一些数值方法,例如差分法,有限元法、蒙特卡罗方法等。本文的主要目的是提供一种简单而有效的数值方法来求解Laplace方程边值问题。其主要的思想是通过线性组合调和多项式近似的边值问题的精确解,从而将问题归结为确定未知系数的线性组合,然后取一个适当的正则化方法来进行求解。主要思想如下:假设区域D(?)R~2为具有光滑边界单联通的有界区域。考虑以下边值问题△u =0,inD(1)аu/аv+u=f,on аD(2)其中v为аD的单位外法向量,f∈L~2(аD))。由复变函数理论知,一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程,称为调和函数,既具有关于自变量的二阶连续偏导数且满足上述方程的连续函数。已知当=0,1,……,调和多项式如下:Ψ_(k,1)(x)= Re{(x_1+ x_2)k},Ψk,2(x)= Im{(x_1+ix_2)k}其中 x =(x1,x2)∈R~2。定义调和多项式:φ0(x):= Ψ_(0,1)(x),φ_(k,j)(x):= Ψk,j(x)/Mk(3)其中常数调和多项式方法的主要思想是通过线性组合调和多项式来近似边值问题(1)-(2)的其中c0和ck,(k=1,……,N,j=1,2)均为实常数。现在我们来介绍调和多项式的逼近。已知uN是近似解,u的近似解是可以得到的。我们的目的是得到uN系数的数值近似值。为了确定参数c0和ck,j,我们可以通过边界条件,推出得到下面的方程:其中迹算子由下式定义由(5)定义的算子是紧且单射的。由引理3.4,我们知道存在由于算子AN是紧的,从而求解算子方程是不适定的问题。我们考虑扰动方程其中fδ∈L~2(аD)是扰动数据满足对于(9)的一个正则化解为调和多项式的线性组合其中系数可通过求解以下方程来确定:由定理3.2可知存在正常数C = C(D,rin,rex)使得进一步,取γ0,k_01和τ=τ_0~(1+γ)如果取N =k_0ln|lnδ|并取正则化参数α=δ2/3τ-2N0,有本文第一章介绍Laplace方程的边值问题及正则化方法。第二章详细介绍Laplace方程的边值问题的几种解法,如差分法,边界元法。第三章研究调和多项式的稠密性,提出解决Laplace方程边值问题一种方法,即调和多项式法,并给出带正则化的稳定性分析,最后进行数值实验。第四章给出结论。
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O241.8

【参考文献】