关于超图特征向量及Z特征值的一些研究

发布时间：2020-07-24 22:21

【摘要】：图谱理论是图论的一个重要研究领域,与图谱的研究相比较,超图谱的研究近年来受到许多学者的关注,在张量谱理论发展的基础上,超图谱理论的研究也迅速发展起来,目前已有许多关于一致超图邻接张量、拉普拉斯张量、无符号拉普拉斯张量的经典结果。金芳蓉、冯克勤、陆林渊、李文卿、S.Friedman等人用一致超图邻接矩阵和拉普拉斯矩阵来研究超图的性质。但一致超图的每条边不止由两个点确定,所以用邻接矩阵和拉普拉斯矩阵来研究不能直接地反映一致超图的结构性质。2012年J.Cooper和A.Dutle给出了一致超图邻接张量_G(32)的定义,给出了超图的张量表示,此后对于超图的张量谱研究激起了广大学者的兴趣。本文通过超图的张量表示,结合图谱中的一些经典结果以及张量的谱性质来研究超图的特征值及特征向量。主要分为以下两部分。给出了连通的k一致超图是二分超图的充要条件;在奇二分超图中相应于拉普拉斯张量最大H特征值的H特征向量分量加绝对值后是相应于无符号拉普拉斯张量最大H特征值的H特征向量;若k一致超图是不连通的奇二分超图则相应于拉普拉斯张量的最大H特征值的H特征向量存在某一分量为零。还给出一致有向超图的邻接张量和无符号拉普拉斯张量的最大、最小Z特征值的界;给出了一致有向超星邻接张量的所有Z特征值全为0;求出一致有向超星拉普拉斯张量和无符号拉普拉斯张量的一个Z特征值是1/（k-1）。
【学位授予单位】：哈尔滨工程大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O157.5
【图文】：

超图,有限子集,顶点集,边集

(G ))由点集 V ( G )和边集 E ( G )构有限非空集合，边集 { 1 2( ) , , E G = e e 个有限子集簇，其中ie ≠ (i = 1, 2,...,边可以由多个顶点构成。 = (V (G ), E (G ))，顶点集1 2 3 V = {v , v , v 3 3 5 6 4 },{v , v , v },{v }}。

张量,非负,例子

1 21 21,0mmi i ii i ia = = == ，其他量的定义可知，当 m = 1时，张量。设m 阶 n 维张量 ( )1 2 mi i i=a ，称为非负（正）张量。设 m 阶1 2mi i ib ( )1 2 12| |mmi i i i iia ≥b ，1 2, , , i i 3 阶 2 维张量 ( )ijk =a的例子112a1 2a

超图,张量

在研究图的某些性质和图结构时会借助图矩阵。在 2005的定义之后，我们就想借助张量来研究超图的谱。在 2012 年出了k 一致超图邻接张量的概念，将图谱理论中的部分结果推广大学者的研究兴趣。[18]设 G = (V (G ), E (G ))是k 一致超图， V (G )= n，( 1 2...kG i i i =a1 21 2...1 21, { , ,... }( 1)!0, { , ,... }kki i iki i i Eaki i i E ∈ = 阶n维非负对角张量，它的对角元素i id 是G 的顶点i的度id k 一致超图G 和G 的定义，G G G = ，G G = +G 。这大H 特征值记为 ( )Gλ ，拉普拉斯张量的最大 H 特征值记为量的最大H 特征值记为 ( )Gλ 。集合 S [ n]，我们用 { }sE = e ∈ E s e≠ 表示边集。任 e}，d = d图 2.3 普通图和超图

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