Grothendieck范畴中Serre子范畴的型与一类单态射范畴

发布时间：2020-07-26 11:04

【摘要】：类比于三角范畴的粘合,左粘合,右粘合及三角范畴之间的正合序列,在Abel范畴中,也可以定义Abel范畴的粘合,左粘合,右粘合及Abel范畴之间的正合序列.两者之间虽有相似之处,却有本质不同.例如:三角范畴的粘合,左粘合,右粘合中每一函子均是三角函子且每一层均是三角范畴之间的正合序列;但这在Abel范畴中一般不成立.自然的问题是,若Abel范畴中(左,右)粘合中的函子是正合函子,则会有怎样的结果.通过仔细观察,这一问题引向对Abel范畴中Serre子范畴的研究.Abel范畴的Serre子范畴是三角范畴的厚子范畴的类似物.用Serre子范畴S经过局部化得到商范畴A/S和Abel范畴的正合序列(?).自然的问题:嵌入函子i与商函子Q是否有左(右)伴随函子?更一般地,i与Q的伴随序列能有多长?这提示我们引入Serre子范畴的型的概念.研究发现,从上述两个角度入手的产生的问题本质上是一致的,都指向Serre子范畴型的分类.当我们将Abel范畴设定为Grothendieck范畴时,可以得到完整的分类结果.这篇博士学位论文第一部分,就是给出Grothendieck范畴中的Serre子范畴通过型的分类.详细陈述如下:一.引入Abel范畴双-Giraud粘合,建立了其与既遗传又余遗传挠对的对应关系;建立了Abel范畴左,右粘合分别与强余遗传挠对,强遗传挠对之间的对应关系.二.指出了两个重要引理.1)Abel范畴的粘合中,如果其对应的6个函子均是正合函子,则该粘合为可裂粘合,进而该粘合可向上及向下无限伴随.2)在Grothendieck范畴中,任意一个左粘合均可以扩展为一个粘合.三.引入了Grothendieck范畴中Serre子范畴的型的概念,并得到其完全的分类:型只可能为如下七种:(0,0),(0,-1),(1,-1),(0,-2),(1,-2),(2,-1),(+∞,-∞)并构造性地说明了,以上每种的确是某个Grothendieck范畴的适当的Serre子范畴的型.本博士学位论文的第二部分构造了一类新的单态射范畴.给定一个自入射的Artin代数Λ,我们考虑对象是有限生成Λ-模到有限生成内射A-模的嵌入同态所构成的单态射范畴S_(inj)(Λ).我们证明了S_(inj)(Λ)是一个有Auslander-Reiten序列的Frobenius范畴,A-mod和S_(i1j)(Λ)是稳定等价的且S_(inj)(Λ)的不可分解内射对象个数是A-mod中相应的两倍.
【学位授予单位】：上海交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O154.1

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本文编号：2770679