关于超图谱半径和特征向量的研究

发布时间：2020-08-08 14:18

【摘要】：图是一种应用广泛的数学模型,能反映离散对象之间的二元关系。超图作为图的推广,能够更好地反映离散对象之间复杂的多元关系。学者们最初利用矩阵研究超图,由于超图与矩阵不是一一对应的,所以矩阵不能完全反映超图的信息。2005年,祁力群和林立行分别独立地从不同的角度提出了张量特征值的概念,祁力群和张恭庆等对张量谱的性质做了研究,这些工作为超图谱的研究奠定了基础。本文用超图对应的张量研究超图的性质。结合图谱中的一些经典结果以及张量谱的性质研究超图的特征值和特征向量,主要包括超图对应的张量谱半径的界以及拉普拉斯张量和无符号拉普拉斯张量的特征向量相应分量的性质。具体研究了以下内容,对一致线性连通超图,给出了无符号拉普拉斯张量谱半径的上界。对一致连通超图,通过度序列给出了邻接张量和无符号拉普拉斯张量谱半径的界,并刻画了当谱半径的上界与下界相等时对应超图的结构。对一般超图,研究了无符号拉普拉斯张量特征值的一些性质。根据拉普拉斯张量的特征向量相应分量的性质,通过添加或删除某个满足特定条件的超边的方法,构造出与原超图有相同的拉普拉斯张量特征值的超图,并且给出了一致超图的拉普拉斯张量和无符号拉普拉斯张量特征值与特征向量相应分量间的关系。对无符号拉普拉斯张量的主特征向量,研究了最大分量和最小分量的界。
【学位授予单位】：哈尔滨工程大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O157.5
【图文】：

对比图,超图,对比图,定理

对任意的 ( [ ])ib i n∈ ∈有以上结果成立，选取不同的正数时，谱，当ib 选取与超图相关的的参数（如度序列）时，谱半径的上界和下。在定理 2.9 中，令i ib′ = d，即为定理 2.10，令i ib′ = d，即为定理 2四章主要推广了拉普拉斯矩阵的 Edge Principle 定理，以下是定理内.12[60]设 G = (V (G ), E (G ))是有n 个点的普通图，其中1 2( ) { , , , V G = v v , , }m e，λ 是图 G 的拉普拉斯矩阵的特征值，T1 2( , ,..., )nnx = x x x∈ 是量，如果i jx = x，则有以下结论成立。两个分量对应的点 ,i jv v 构成一个新的边 { , }i je = v v，则图 G ′ = G + e与拉普拉斯矩阵特征值。 { , } ( )i je = v v ∈ E G，则删除这个边之后的图 G ′ = G e与图 G 有一个相特征值。散数学中常见的结构，比普通图的结构更为复杂。下面通过两个例子行对比，观察各自特点。图 2.3（a）是普通图，2.3（b）是超图。从图的一条边关联两个点，超图的一条超边可以关联多个点。

章鱼,超图

（b）图 2.4 图与幂超图 = (V (G ), E (G ))为k 一致超图，如果0 1( ), (V G V 1( ) ( ) 1dV G = = V G = k ，0{ ( ) ( E = V G V G超星的中心点。G = (V (G ), E (G ))为k 一致超图，如果存在正整{ }1,1 1, 1,1 1,( ) ,..., ,..., , ...,,k k k k kV G i i i i i ={{ } { } { 1,1 1, 1,1 1, 1,1 1,1( ) , ..., ,..., ,..., , ,..., ,k k k k k G i i i i i i i = (G ), E (G ))是一个章鱼图的示例。

序列,超图,章鱼

（a）（b）（c）图 2.4 图与幂超图定义 2.14[44]设 G = (V (G ), E (G ))为k 一致超图，如果0 1( ), ( ),..., ( )dV G V G V G 是 V，且0V (G ) = 1，1( ) ( ) 1dV G = = V G = k ，0{ ( ) ( ) [ ]}iE = V G V G i ∈d，则称。0V 中的点称为超星的中心点。定义 2.15[61]设 G = (V (G ), E (G ))为k 一致超图，如果存在正整数k ，使得G 排列成以下序列{ }1,1 1, 1,1 1,( ) ,..., ,..., , ...,,k k k k kV G i i i i i ={{ } { } { }}1,1 1, 1,1 1, 1,1 1,1( ) , ..., ,..., ,..., , ,..., ,k k k k k kE G i i i i i i i =G 为章鱼图。如图 2.5， G = (V (G ), E (G ))是一个章鱼图的示例。

【参考文献】