磁流流体方程的解耦算法及保结构预处理方法

发布时间：2020-08-11 13:43

【摘要】：Magnetohydrodynamics(MHD)这个词在1942年首次被瑞典物理学家Hannes Alfl-ven使用:“At last some remarks are made about the transfer of momentum from the Sun to the planets,which is fundamental to the theory.The importance of the mag-netohydrodynamic waves in this respect are pointed out.”~([1]).现在,磁流体动力学(MHD)已经发展成为物理,力学和数学的交叉学科的一个活跃分支.它研究是导电流体在外加电磁场的运动行为,它的研究对象包括等离子体,液态金属,盐水和电介质等.MHD在地球物理,天体物理,宇宙学和热核控制中等工程领域都有广泛的应用,参见文献~([2 4]).MHD的基本物理规律是磁场能够在运动的导电流体中诱导出电流,流体中的电流又能产生磁场从而反过来改变原来的外加磁场.描述MHD模型的方程是流体的Navier-Stokes方程与电磁场的Maxwell方程的耦合.据我们所知,MHD方程的数学理论研究起源于M.Sermange,R.Temam的文献~([5]),直到现在,已经有很多文献研究MHD方程的数学理论,参见~([6 12]).同时,MHD问题的数值方法的研究也非常活跃.在1991年,M.D.Gunzburger,A.J.Meir和J.P.Peterson在文献~([13])中研究了定常MHD方程的伽辽金有限元离散.后来,J.F.Gerbeau,C.Le Bris和T.Leli`evre在专著~([14])讨论了许多定常MHD方程的数学理论和数值方法.另外,还有很多文献从数值角度研究MHD问题,请参见~([15 21]).数值研究MHD问题主要有三个困难:非线性,耦合性和多物理场求解.非线性是指流体部分的对流项和洛伦兹力项与磁方程部分的对流项都是非线性的.处理非线性的通常方法是将其线性化,如Picard线性化,牛顿线性化.但在大物理参数情形下,非线性迭代收敛会非常慢,甚至不收敛.耦合性是指描述流体运动的Navier-Stokes方程和描述电磁场的Maxwell方程通过洛伦兹力和欧姆定律耦合在一起,要求解MHD方程需要同时求解速度场,压力,磁场甚至可能还有电场.所以在实际计算中需要计算的自由度非常多,这就给计算机存储和线性求解器的设计带来巨大的挑战.多物理性是指MHD问题涉及到多个不同的物理场变量的求解,不同的物理场所对应的算子各有特点,模型离散后得到的代数系统是一个分块矩阵.不同的物理场所需要的预处理算子是不同的,特别地,求解各个物理场预处理算子逆作用的高效稳定的求解策略也是不同的,这给设计MHD高效稳定的求解器带来巨大的挑战.本文主要是围绕MHD问题的非线性,耦合性和多物理场求解这三个困难开展研究的.本文的主要工作是~*:1.提出了求解MHD方程的基于两网格的耦合校正和解耦并行校正算法.我们建立了MHD方程解的适定性的精确条件和一致的误差估计.在此基础上,通过理论分析,发现这两类算法对MHD模型的物理参数的依赖性,为这两类算法建立了理论基础.同时数值算例验证了我们的理论分析和显示了这两类算法的高效性.2.提出了非定常MHD方程的解耦格式.通过解耦流体方程和磁场方程,使得在模拟随时间发展的MHD问题时能够分别处理流体部分和磁场部分,这样就能够利用成熟的求解流体和磁场的软件包.我们给出了该解耦格式的数值解的稳定性和收敛性分析,得到该解耦格式是几乎无条件(?t≤C)稳定的和收敛的,并且具有最优阶误差估计.3.针对保结构MHD模型,我们提出了三种无条件能量稳定的数值格式,分析了这三种数值格式的收敛性和稳定性.针对其中的Picard线性化格式,我们设计了一致的求解器,并给出了理论分析和数值验证.理论和实验都表明,无论是精确求解预处理作用还是近似求解预处理作用,该求解器的迭代次数都与网格尺度,时间步长,和物理参数无关.
【学位授予单位】：西安交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O361.3;O241.8

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