若干奇异摄动前沿问题的研究

发布时间：2020-08-15 13:11

【摘要】：本文针对几类非光滑奇异摄动问题和一类随机奇异摄动问题进行了研究.近年来,非光滑奇异摄动问题和随机奇异摄动问题受到了广泛关注.利用几何奇摄动理论对这些问题的研究已经得到较大发展.但运用渐近方法研究这些问题还有待其理论进一步的发展和完善.本文结合几何定性理论和渐近方法研究了非光滑和随机奇异摄动问题,并改进了前人的一些结果。全文共六章.谨将具体内容和研究结果概述如下：第一章简单回顾了奇异摄动,非光滑动力系统和带有随机扰动的快慢系统的研究历史、发展过程和现状,介绍了本文的工作并提出了一些待解决的问题。第二、三、四章研究了退化方程具有单根的非光滑奇异摄动系统的空间对照结构.包括二阶拟线性系统和弱非线性系统的Dirichlet问题,以及一阶常微分方程组的齐次Neumann问题.通过对辅助方程的相平面分析,结合边界层函数法分别构造了它们的渐近解.对于拟线性和弱非线性问题通过光滑缝接,方程组问题通过连续缝接的方法,在整个区间上证明了解的存在性和渐近解的一致有效性。第五章研究了退化方程具有重根的非光滑奇异奇摄动问题的空间对照结构.这里讨论的是退化方程在间断点左侧具有二重根,右侧具有单根的情况.由非标准边界层函数法,通过光滑缝接可得到整个区间上解的存在性和包含内部层的渐近解的一致有效估计.特别的,这里所讨论的内部层是多层次的,即在内部层不同区域上内部层系数函数会由代数衰减过渡到指数衰减。第六章研究了快慢变量都包含噪声扰动的微分方程组初值问题.给出了随机快慢系统渐近解的构造方法,值得注意的是这里所讨论的边界层级数的高阶项系数函数不满足指数衰减性.同时,当确定性系统退化方程的根稳定时,可得到关于参数的(?)奇异摄动问题包含边界层的渐近解在整个区间上的一致有效性,以及关于参数(?)的正则摄动问题的渐近解在整个区间上的一致有效性.给出了随机版本的Vasileva定理。
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

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本文编号：2794160