一类Lorenz-5D超混纯系统的复杂动力学行为研究

发布时间：2020-08-21 14:57

【摘要】：Lorenz在1963年首次发现第一个混沌吸引子以来,混沌理论在许多领域中获得了前所未有的发展.五十多年以来,对混沌的研究已经成为现代非线性科学最核心的研究课题之一.Lorenz系统被认为是混沌的第一个数学模型,是混沌学发展史上的一个重要的里程碑,具有举足轻重的意义.具有两个或两个以上正的Lyapunov指数的混沌系统被称为超混沌系统,相对于混沌现象,超混沌系统的吸引子轨道在更多方向上分离.因此超混沌系统的动力学行为比混沌系统更为复杂,其随机性和不可预测性也更强.同时,超混沌在非线性理论及电子技术等领域有着更广泛的应用,其研究方向涉及保密通信、非线性电路和神经网络等,使得超混沌系统的研究具有更为广阔的发展前景,这方面研究引起了数学及相关学科的科学家的广泛关注.近年来,由于超混沌系统的维数较高,对超混沌系统的探讨主要集中在四维系统,而对五维系统的研究不多,尤其对于具有三个正的Lyapunov指数的五维系统动力学的研究就更少.基于Lorenz型系统,通过引入反馈控制器,本文提出一类具有三个正的Lyapunov指数的五维Lorenz型超混沌受控系统,严格证明该系统与Yang-5D超混沌系统在控制项一致的情况下的不等价性,并研究其复杂动力学行为.运用含参中心流形定理、规范型理论及微分方程几何理论等方法,研究双曲、非双曲平衡点的稳定性及分岔(包括叉型分岔和Hopf分岔)等复杂动力学,进一步讨论系统在无穷远处的动力学性质.本文的主要内容如下:第一章为绪论,简述本文的研究背景、目前国内外的研究现状,混沌及超混沌理论的动态发展趋势.概述了本文中所用的方法、理论,介绍了经典的超混沌系统和四维、五维Lorenz型超混沌系统的研究情况.第二章基于Lorenz型系统,提出了一类具有三个正的Lyapunov指数的五维超混沌系统(简称Lorenz-5D超混沌系统),给出此系统双曲平衡点稳定的充分必要条件,并严格证明在相同的控制项下,Lorenz-5D超混沌系统与Yang-5D超混沌系统不光滑等价.第三章讨论了Lorenz-5D超混沌系统非双曲平衡点的稳定性及局部分岔问题.利用中心流形定理和规范型理论分别研究具有一个零特征值和两个零特征值的非双曲平衡点的稳定性;再运用含参中心流形定理研究系统的叉形分岔,得到了分岔参数取临界值时新系统在平衡点处的动力学行为.进一步,通过运用高维Hopf分岔理论和严格的符号推理,讨论系统的Hopf分岔问题,得到发生Hopf分岔的条件、Hopf分岔分支出的周期解的近似表达式及相应的分岔方向.第四章讨论了Lorenz-5D超混沌系统的全局动力学行为.首先根据Lyapunov指数谱、分岔图、Poincar′e映射等分别验证特有的超混沌动力学性质.当选取适当参数时,Lorenz-5D超混沌系统可以产生超混沌、混沌、周期和拟周期等复杂动力学行为,特别是具有三个正的Lyapunov指数的超混沌行为.当系统的参数取定时,通过改变系统的初值得到吸引子共存的现象,包括超混沌吸引子与周期吸引子共存、超混沌吸引子与拟周期吸引子共存、两个周期吸引子共存.进一步,运用R5空间中的Poincar′e紧致化方法,通过可逆的坐标变换,将Lorenz-5D超混沌系统在其相空间中的向量场分别投影到五个局部坐标卡上,分析系统在坐标卡上的新向量场,得到系统在无穷远处的动力学性质.
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O415.5;O175

【参考文献】