极值组合中的几类极值问题
发布时间：2020-08-22 19:07
【摘要】：组合数学主要探讨满足一定条件的组态(或安排)的存在性、计数及构造等问题,它包括代数组合学、极值组合学、计数组合学、图论、组合设计、组合优化等领域。极值组合学作为组合数学的一个重要分支,它的理论和方法在诸多领域有着重要的应用,比如计算机科学、密码学、编码学和实验设计等方面。极值组合中的极值问题一直都是较为热门的研究方向,尤其是随着计算机的迅猛发展,机器证明的应用,使得极值组合问题得到了快速的发展。近些年以来,有关极值组合问题的研究成果层出不穷,极大地丰富了组合学理论。解决极值组合类问题通常用到的方法有反证法、递归构造、等价转化、归纳猜想、代数学方法(包括循环群、置换群、同构、同态)等。在本文中,我们主要研究了极值组合中的三类极值问题。第一,主要研究了欧氏空间中的距离集问题;第二,主要研究了平面网格点中不构成直角的最大点集构造问题;第三,主要研究了 1-Sperner超图在达到上界时的极图构造与计数问题。全文一共分为五章。第一章中,介绍了本文的研究背景、研究概况及基本概念,并给出极值组合学中一些已知的重要结果。第二章中,首先介绍了有关距离集的基本概念,然后通过利用代数约束的方法给出了 1-距离集的新证明,同时利用组合数学中生成函数的一些结论对s-距离集的证明做出了改进。第三章中,首先讨论了平面网格点中不构成直角的最大点集构造的问题来源和研究思路,其次给出了平面上m×n网格点中不构成直角的最大点集构造与计数,最后研究了平面上n×n和m×n网格点中过原点且不构成直角的最大点集构造与计数。第四章中,首先介绍了 1-Sperner超图有关的一些重要结论,其次给出了1-Sperner超图在达到上界时的极图构造和计数问题,最后讨论了 1-Sperner超图在达到下界时顶点数较小情况下的极图构造和计数。第五章中,首先总结了本文的研究内容,其次对进一步的研究工作进行了展望。
【学位授予单位】：华北电力大学(北京)
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O157
【图文】：
两点连接原点且不构成直角，下面主要通过归纳猜想的方法，给出ｎ较小时的逡逑可能情形，去猜测ｎ较大时的可能构形。经过多次作图计算与验证，找到了ｎ邋Ｓ邋９逡逑时满足条件的最大点集的一些构形，其中图３－５给出了平面上９ｘ９网格点中过逡逑原点且无直角的最大点集的两种构形。逡逑图３－５平面上９ｘ９网格点中过原点且无直角的两种最大点集构形逡逑从图３－５中的两种构形容易看出，当ｎ邋５邋９且ｎ为奇数时，对应的大小逡逑如下：逡逑ｇ（３）邋＝邋２ｘ２邋＋邋４ｘ０邋＝邋２ｘｌ邋＋邋２邋＝邋４；逡逑ｇ（５）邋＝邋２ｘ４邋＋邋４ｘ（０邋＋邋１）邋＝邋２ｘ２２邋＋邋４邋＝邋１２；逡逑ｇ（７）邋＝邋２ｘ６邋＋邋４ｘ（０邋＋１邋＋邋２）邋＝邋２ｘ邋３２邋＋邋６＝邋２４；逡逑ｇ（９）邋＝邋２ｘ８邋＋邋４ｘ（０邋＋１邋＋邋２邋＋邋３）邋＝邋２ｘ邋４２邋＋邋８邋＝邋４０0逡逑同理，归纳猜测得召（ｎ）邋＝邋２邋ｘ邋（ｎ邋－邋１）邋＋邋４邋ｘ邋（０邋＋邋１邋＋邋２邋＋邋…＋￥邋＋邋＾）＝逡逑２ｘ（丁）＋ｎ－ｌ＝丁。逡逑以上所猜测的结果，只可以认为是平面ｎｘｎ网格点中过原点且不构成直角逡逑的极大点集，为了验证这个结果的正确性，下面将使用该平面网格点中关于中逡逑心原点的旋转对称性和纟丨〖合学中的抽屉原理，给出以下定理及其相应的证明。逡逑弓丨理３．邋３．邋１在平面上的ｎ邋ｘ邋ｎ网格点中，令ｎ为奇数，贝ＩＪ有＝邋ｆ。逡逑证明：同图３－５类似，取ｎ为奇数，以平而丨：ｎｘｎ网格点屮的中心点为原点建逡逑２１逡逑
过原点且不构成直角的最大点集的构造，这里令￡（（ｍ，ｎ）表示平面上的ｍ邋ｘ邋ｎ网逡逑格点中过原点且不构成直角的最大点集的基数。同３．３．１节中考虑的方法类似，逡逑给出以下图３－６和归纳猜测的结果。逡逑＿＿逡逑a义希荩澹危撸海殄义贤迹常镀矫嫔希梗欤焱竦阒泄闱椅拗苯堑囊恢肿畲蟮慵剐五义洗油迹常吨新闾跫淖畲蟮慵拇酥止剐慰梢钥闯觯保恚罹媸义义希礤澹煎澹铉郏保笔保杂挘ǎ恚睿┑拇笮∪缦卤恚哄义媳恚常钡保恚澹罹媸遥礤澹煎澹铄澹渝澹保笔保琹挘ǎ恚澹睿┑闹靛义希铄危冲危靛危峰危瑰义希靛危保板义希峰危保跺危玻插义希瑰危玻插危常插危常稿义希保卞危玻稿危矗插危担插危担稿义贤ü陨媳恚常敝校穑ǎ
本文编号：2801034
【学位授予单位】：华北电力大学(北京)
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O157
【图文】：
两点连接原点且不构成直角，下面主要通过归纳猜想的方法，给出ｎ较小时的逡逑可能情形，去猜测ｎ较大时的可能构形。经过多次作图计算与验证，找到了ｎ邋Ｓ邋９逡逑时满足条件的最大点集的一些构形，其中图３－５给出了平面上９ｘ９网格点中过逡逑原点且无直角的最大点集的两种构形。逡逑图３－５平面上９ｘ９网格点中过原点且无直角的两种最大点集构形逡逑从图３－５中的两种构形容易看出，当ｎ邋５邋９且ｎ为奇数时，对应的大小逡逑如下：逡逑ｇ（３）邋＝邋２ｘ２邋＋邋４ｘ０邋＝邋２ｘｌ邋＋邋２邋＝邋４；逡逑ｇ（５）邋＝邋２ｘ４邋＋邋４ｘ（０邋＋邋１）邋＝邋２ｘ２２邋＋邋４邋＝邋１２；逡逑ｇ（７）邋＝邋２ｘ６邋＋邋４ｘ（０邋＋１邋＋邋２）邋＝邋２ｘ邋３２邋＋邋６＝邋２４；逡逑ｇ（９）邋＝邋２ｘ８邋＋邋４ｘ（０邋＋１邋＋邋２邋＋邋３）邋＝邋２ｘ邋４２邋＋邋８邋＝邋４０0逡逑同理，归纳猜测得召（ｎ）邋＝邋２邋ｘ邋（ｎ邋－邋１）邋＋邋４邋ｘ邋（０邋＋邋１邋＋邋２邋＋邋…＋￥邋＋邋＾）＝逡逑２ｘ（丁）＋ｎ－ｌ＝丁。逡逑以上所猜测的结果，只可以认为是平面ｎｘｎ网格点中过原点且不构成直角逡逑的极大点集，为了验证这个结果的正确性，下面将使用该平面网格点中关于中逡逑心原点的旋转对称性和纟丨〖合学中的抽屉原理，给出以下定理及其相应的证明。逡逑弓丨理３．邋３．邋１在平面上的ｎ邋ｘ邋ｎ网格点中，令ｎ为奇数，贝ＩＪ有＝邋ｆ。逡逑证明：同图３－５类似，取ｎ为奇数，以平而丨：ｎｘｎ网格点屮的中心点为原点建逡逑２１逡逑
过原点且不构成直角的最大点集的构造，这里令￡（（ｍ，ｎ）表示平面上的ｍ邋ｘ邋ｎ网逡逑格点中过原点且不构成直角的最大点集的基数。同３．３．１节中考虑的方法类似，逡逑给出以下图３－６和归纳猜测的结果。逡逑＿＿逡逑a义希荩澹危撸海殄义贤迹常镀矫嫔希梗欤焱竦阒泄闱椅拗苯堑囊恢肿畲蟮慵剐五义洗油迹常吨新闾跫淖畲蟮慵拇酥止剐慰梢钥闯觯保恚罹媸义义希礤澹煎澹铉郏保笔保杂挘ǎ恚睿┑拇笮∪缦卤恚哄义媳恚常钡保恚澹罹媸遥礤澹煎澹铄澹渝澹保笔保琹挘ǎ恚澹睿┑闹靛义希铄危冲危靛危峰危瑰义希靛危保板义希峰危保跺危玻插义希瑰危玻插危常插危常稿义希保卞危玻稿危矗插危担插危担稿义贤ü陨媳恚常敝校穑ǎ
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