多种群耦合系统的稳定性和同步性

发布时间：2020-08-27 11:53

【摘要】：由于在诸如物理、工程和生物等等众多领域的广泛应用,耦合系统成为当今最热门的课题之一。事实上,很多因素可以导致研究对象的不均匀性。为了更好的描述这种不均匀性,多种群耦合系统受到越来越多的追捧。当考虑多种群耦合系统模型时,种群之间的扩散影响是不可忽视的重要因素之一。不同种群之间的扩散有三种主要形式:一种是不同种群同种子部分之间的相互扩散,称为平行扩散。另一方面,发生在不同种群不同子部分之间的扩散影响,称作交叉扩散。在具体的实际问题中,不同的对象之间可能存在有单边或者双边的关系,并且大概率上单双边关系不同时满足。由此,为了更好地反应不同种群子系统之间的相互关系,进一步研究发生在不同种群不同子部分之间的单向交叉扩散影响,此为本文关注的第二种扩散形式;以及第三种发生在不同种群不同子部分之间的双向交叉扩散的影响。同时考虑到同一个种群内部可能存在有反应扩散和组内影响,本论文主要研究了具有多种扩散形式的多种群耦合系统的动力学性质。稳定性和同步性,作为耦合系统重要的动力学性质,是本论文主要考察的对象。驱动-反应多种群耦合系统之间的外同步问题可以转化成误差系统的稳定性的问题。判断多种群耦合系统的稳定性,最常用的方法是Lyapunov方法。众所周知,如何构造多种群耦合系统的全局Lyapunov函数仍然是一个公开性问题。本论文结合图理论和Lyapunov方法研究了具有多种扩散形式的多种群耦合系统的稳定性和同步性问题,为多种群耦合系统在各个领域上的实际应用提供理论依据。本论文的研究内容主要包含有以下三个方面:1.具有反应扩散项和平行扩散的多种群耦合系统的稳定性和同步性。本论文的第二章和第三章分别研究了具有平行扩散的多种群耦合系统的稳定性和同步性。考虑到种群中子系统自身内部空间上的变化,建立模型时加入了反应扩散项。利用图理论、Lyapunov方法和不等式技巧,提出了一个用来判定给定具有反应扩散项和平行扩散的多种群耦合系统的稳定性和同步性的新方法。分别给出两种充分性准则,一种是Lyapunov型准则,另一种是系数型准则。前者为整章推导提供了一个理论框架,后者为直接判断给定具体系统的稳定性或者同步性提供便利。最后数值算例表明了所提结论的有效性。2.具有单向交叉扩散和组内影响的多种群耦合系统的稳定性。单向关系广泛地存在于自然界和人类社会中。比如,食物链中捕食者和被捕食者的关系是不可逆转的;传染病模型中,易感者受到已感染者携带的病毒或者细菌的感染,而反之不成立。同时,考虑到同一种群内部不同子部分之间的相互作用,建模时种群组内影响也应该被考虑进来。本论文中第四章和第五章讨论了具有单向交叉扩散和组内影响的多种群耦合系统的稳定性。利用图理论中的Kirchhoff矩阵树定理,给出了一个构造具有单向交叉扩散和组内影响的多种群耦合系统的全局Lyapunov函数的新方法。在第四、五章分别提出了两种充分性准则,并用实际的具有交叉扩散和组内影响的多种群耦合振子模型验证了结论的可行性。3.具有双向交叉扩散和组内影响的多种群耦合系统的稳定性。考虑到竞争关系、共赢关系、互惠关系、共生关系以及战略关系等双边关系广泛地存在于两者相互关系之中,本论文在第四、五章的基础上,进一步在第六章讨论了具有双向交叉扩散和组内影响的多种群耦合系统的稳定性。结合图理论和顶点Lyapunov函数集去构造双向交叉扩散和组内影响的多种群耦合系统的全局Lyapunov函数。第六章中提出了两种判断系统稳定的充分性准则。最后数值算例和它的仿真图表明了主要结论是可应用的。
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

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