分数阶对流扩散方程的几种数值方法研究

发布时间：2020-08-28 14:16

　　近年来,随着分数阶微积分在数学建模中的大量应用,分数阶偏微分方程越来越受到学术界的关注,并已经开始在电磁学、多孔介质力学、经济金融、环境科学、控制理论和高分子材料等诸多科学领域的研究中扮演重要角色。作为一类新兴的数学模型,此类方程能够为带记忆功能、自相似性质和遗传特征的复杂动力学行为提供更为深刻和准确的物理阐述,故具备传统偏微分方程不可比拟的优越性。由于解析技术的局限性,开展有关的数值方法研究具有重要的理论意义和实际应用价值。本文研究时间和空间分数阶对流扩散方程的数值解法,涉及有限差分和配置法、运算矩阵法和微分求积法,主要内容包括以下四个部分:首先,讨论常系数时间分数阶扩散方程的一种高精度数值方法。采用一类高阶差分格式离散Caputo分数阶导数,在空间上应用指数样条插值并给予拟一致配点,构造一种有限差分-指数B-样条配置法。分析一阶数值格式的唯一可解性和无条件稳定性,其中,稳定性通过分数阶von Neumann分析法证明。数值结果验证了理论分析结果。其次,研究变系数时间分数阶对流扩散方程的运算矩阵法。采用Chebyshev cardinal函数作为基函数,推导Riemann-Liouville分数阶积分的一个运算矩阵,给出两种计算矩阵元素的方案,并分析它们的优缺点。进一步地,求得一、二阶空间导数的矩阵近似,利用分数阶微积分的性质将控制方程转化成含分数阶积分的等价形式,以此提出一种高效Chebyshev cardinal运算矩阵法。数值结果及与现有算法的比较表明该方法具备较高的计算精度,并且适用于长时间历程分数阶问题的数值模拟。再次,建立一、二维变系数空间分数阶对流扩散方程的样条微分求积法。试函数选为三次B-样条,介绍Riemann-Liouville分数阶导数的微分求积公式,给出确定加权系数的方法。同时,为了快速计算分数阶导数在各个离散节点上的函数值,对分数阶导数的积分部分应用分部积分公式并反复进行递归,推出三次B-样条的Riemann-Liouville分数阶导数的显式表达式。导出的常微分方程组采用加权平均差分格式离散。该方法继承了传统微分求积法计算量小、精度高和易于编程的特点,在相同的离散参数和误差量级下,样条微分求积法的CPU时耗远低于有限元法。最后,研究不规则区域上带分数阶方向导数的二维变系数空间分数阶扩散方程的径向基微分求积法。对全域离散节点上的函数值进行加权线性组合,引入Caputo分数阶方向导数的微分求积公式。试函数分别选为Multiquadric、Inverse Multiquadric和Gaussian径向基函数,给出三种确定加权系数的方法。以之为基础,发展一种适用于任意区域上的空间分数阶扩散方程的Crank-Nicolson径向基微分求积法,并给出算法流程。数值算例包含有矩形、梯形、圆形和L-型区域问题,数值结果说明了方法的灵活性和对不规则区域问题的适应性。由于对维数变化不敏感,所提方法可以进一步推广至三维任意区域空间分数阶问题,并且不会引起计算量的大幅度增加。
【学位单位】：西北工业大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.8
【部分图文】：

张力参数,算例,算法,误差

3-1 算例 1 中 α = 0.9, N = 5000和 M = 20时算法在 t = 1时刻的误差随张力参数的表 3-1 算例 1 中 α = 0.9, p = 5.16和 N = 5000时算法在 t = 1时刻的数值结果2e (τ , M)Cov. order e ( , M)∞τCov. or0 8.6951e-04 - 1.3969e-03 -0 2.2384e-04 1.9578 3.6042e-04 1.9540 5.7089e-05 1.9712 9.2262e-05 1.9650 1.5162e-05 1.9127 2.4710e-05 1.900 由于0( ) ( )CtD E t = E tα α αα αλ λ λ ，给定2κ =4 /π ，初边值条件 ( x ) = sin(π x/ 2),1g (t ) = 0,2g (t ) = E ( t)αα,次的右端项，易验证在区间 Λ =[0,1]上方程的精确解是u ( x , t ) = E ( t ) sin( x/ 2)ααπ , E ( )α为 Mittag-Leffler 函数。选择 α =0.3和张力参数 p = 1.52，表 3-200时样条配置法在 t = 1时刻时间方向的数值结果；表 3-3 则列出了 N =500

精确解,和数

不同时刻下p=0.01,N=500*t和M=100时精确解和数值解的比较

张力参数,时空间,绝对误差,网格

(c) p = 2.53(d) p =3.35图 3-3 不同的张力参数下 α = 0.6, N = 2500和 M = 50时空间网格上的绝对误差分布表 3-5 算例 4 中 α = 0.6和 p = 2.53时两种算法在 t = 1时刻的绝对误差比较

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