科学技术已成为推动一个国家不断进步的重要动力,特别是高新技术被各个国家竞相追捧.计算机试验已成为模拟研究复杂系统的有力工具,并在高新技术产品的研发过程中扮演重要角色,比如化工业,制造业和医药行业等,参见Snatner,et al.(2003),Fang,et al.(2006).对于复杂系统,由于输入输出之间的关系往往非常复杂,可能是线性的,也可能是非线性的,甚至可能是未知的,因此要得到输入输出之间的精确关系比较困难.但是,我们可以通过选择一个近似表达式(也称为元模型),结合一些专业背景知识来选取一些试验点,借助计算机模拟获得一些数据,从而利用这些数据帮助我们进一步探索输入输出之间的关系.计算机试验希望设计点(试验点)能提供试验区域内各个部分的信息,也就是设计点应该均匀地分布在实验区域内,这就是通常所说的设计的空间填充性质.对于如何刻画设计点分布的均匀程度,现有三种非常流行的评价方式:一是考虑一维投影均匀性或者低维投影均匀性的拉丁超立方设计,参见Mckay,et al.(1979),Tang(1993);二是基于分离距离或者填充距离度量的最小最大距离设计或者最大最小距离设计,参见Johnson,et al.(1990);三是采用设计点的经验分布与实验区域内的均匀分布的偏离程度度量的均匀设计,参见Fang,et al.(2006).为了研究复杂的系统,序贯计算机试验近几年来已成为一种有用的策略.Ranjan,et al.(2008),Xiong,et al.(2013)通过改进高斯随机过程模型对序贯计算机试验进行建模和分析.Xu,et al.(2015)提出了序贯精炼拉丁超立方设计序贯计算机试验.但是,不同的序贯精炼拉丁方可能均匀性不同,有时可能均匀性会比较差.因此,对于序贯计算机试验的空间填充性质仍然是一个值得探索的问题.基于偏差度量设计的均匀性不仅在试验设计中取得了成功的应用,其在拟蒙特卡罗方法中也有重要的应用.更重要的是,基于偏差的度量不仅可以适用于拉丁超立方设计,同时也适用于传统的部分因析设计,参见Fang and Mukerjee(2000),Fang,et al.(2001),Fang,et al.(2002).最近,Butler and Ramos(2007)和Gupta,et al.(2010)分别在不同的优良性准则下研究了在正交表或者超饱和设计的基础上添加一些新的试验点进行序贯试验的优良性.如果采用偏差下的均匀性准则评价序贯试验的均匀性,就可以有效地将这三类设计整合在一个统一的分析框架里,便于实践者根据自已的需要选择好的设计.复杂系统常常会包含很多的输入变量(也称为因子),这些因子对系统的输出影响程度可能不完全相同.因此,实验中需要识别出影响较大的因子,这需要考虑设计的投影均匀性.Fang and Qin(2005)和Chatterjee,et al.(2012)引入了均匀性模式研究设计的投影均匀性,但都只研究了二水平设计或者高水平定性因子设计.在计算机实验中,有时为了更加精细地研究系统的模型,需要考虑高水平定量因子设计.而且,系统中的输入可能既有定性变量又有定量变量,这激发人们研究这类试验的建模与设计,如Qian(2012),Deng,et al.(2015).如何考虑这类设计的均匀性成为了一个重要的话题,同时也有助于实践中指导实验者选择优良的设计.均匀设计的构造一直备受理论研究者和实践者的关注.已有文献已给出了一些构造方法,比如基于特殊的组合结构、启发式算法搜索以及对“好的”设计进行水平置换等.一般而言,构造低水平设计比构造高水平设计相对容易很多.水平组合替换方法在低水平设计和高水平设计之间架设了一座桥梁,并成功的应用于由低水平正交表构造高水平正交表,参见Hedayat,et al.(1999).Fang,et al.(2000)指出,设计的均匀性和正交性之间有密切的关系,因此可以合理预见水平组合替换方法也可以应用于构造均匀性较好的高水平设计.本论文由如下九章组成:第一章是本文的绪论部分.该章对本文的研究背景做了较详细分析介绍和文献综述,给出了本文的研究问题以及介绍了本文的结构和创新点,同时也给出了一些必要的预备知识,便于阅读和理解本文的研究内容.第二章研究了二三混水平拓展设计的均匀性问题.根据序贯试验的特征,引入了一类设计,本文称为拓展设计.它由一个性质优良的已知设计添加一些新的试验点而得到.本章研究了在可卷型L2偏差和Lee偏差下二三混水平拓展设计的均匀性.我们采用均匀性来度量因析设计的优良性,这将Butler and Ramos(2007)研究的在二水平正交表上添加一些新的试验点的优良性问题和Gupta,et al.(2010)研究的在两水平超饱和设计的基础上添加一些新的试验点的优良性问题统一到均匀性理论框架里来.本章建立了拓展设计的偏差与其初始设计和附加设计的偏差之间的关系,这为实践中构造均匀的拓展设计提供了理论指导.同时,通过设计的频数向量和相遇数向量,我们分别给出了拓展设计的可卷型L2偏差和Lee偏差的不同下界.第三章研究了高水平拓展设计的均匀性问题.一般高水平拓展设计为计算机试验提供了更广阔的选择空间.在广义离散偏差下,该章研究了一般高水平拓展设计的均匀性,建立了拓展设计的广义离散偏差与其初始设计和附加设计之间的关系.此外,根据设计的Hamming距离向量,获得了拓展设计的偏差的一个下界,这为实践中选择均匀的拓展设计提供了一个有用的基准.第四章研究了二水平拓展设计的投影均匀性问题.当实验中包含大量的因子时,往往并不是所有的因子都显著影响系统的输出,因此需要识别出那些影响显著的因子,这需要研究设计的投影均匀性.均匀性模式是衡量设计投影均匀性的一个重要指标.在中心化L2偏差下,本章研究了拓展设计的均匀性模式,建立了拓展设计的均匀性模式与其初始设计和附加设计之间的关系,并给出了拓展设计的均匀性模式的一个下界,为比较不同设计的投影均匀性提供了有用的基准.第五章研究了高水平定量因子设计的投影均匀性问题.高水平连续型变量是计算机试验中最常见的变量,很多时候每个变量的影响不尽相同.为了节省实验成本,常常对影响较大的变量选择较多的水平,影响较小的变量选择较少的水平.而且,实验中也需要识别出影响较显著的变量.在可卷型L2偏差下,本章研究了定量因子设计的均匀性模式,给出了两种定义均匀性模式的方法之间的关系,建立了均匀性模式的解析计算公式,这为实践中应用均匀性模式选择最小投影均匀设计提供了便利.同时,也给出了均匀性模式的一个下界.第六章研究了最小投影均匀性定量因子设计的构造问题.Cheng and Wu(2001)指出水平置换可以改变定量因子设计的几何结构以及统计性质.基于此发现,本章研究了水平置换下定量因子设计的平均均匀性模式.在可卷型L2偏差下,获得了平均均匀性模式与设计的广义字长型以及正交性之间的解析线性表达式,这充分说明对传统的广义最小低阶混杂设计或者正交表进行水平置换,可以得到投影均匀性较好的设计.这同时也说明,传统的最小低阶混杂准则不适用于计算机试验.本章给出了平均均匀性模式的一个下界,为启发式搜索算法搜寻最小投影均匀设计提供了一个合理的停止准则.第七章研究了同时包含定量因子和定性因子的计算机试验的设计问题.当计算机实验中同时含有定量因子和定性因子时,如何有效地进行这样的实验变得格外有意义.尽管Qian(2012)和Deng,et al.(2015)提出了分片拉丁超立方设计及其改进执行这类试验,但是这些设计可能存在较差的均匀性.为了度量这类设计的均匀性,本章引入了一个新的偏差,称为边际配对偏差,它既考虑到了定性因子和定量因子自身的不同性质,同时也兼顾了局部均匀和整体均匀.本章也研究了边际配对偏差的统计性质,给出了水平置换下平均边际配对偏差与设计的广义字长型和正交性之间的关系,并给出了该偏差的一个下界.第八章研究了由两水平设计构造四水平设计的均匀性问题.Hedayat,et al.(1999)已经成功地将水平组合替换方法应用于由低水平正交表构造高水平正交表.Phoa and Xu(2009)更进一步将水平组合替换方法应用于构造最小低阶混杂设计.设计的均匀性与正交性和混杂性之间有密切的关系,Fang,et al.(2000)和Fang and Mukerjee(2000)曾指出正交表或者最小低阶混杂设计常常倾向于有较好的均匀性.因此,我们可以合理预期水平组合替换方法由二水平设计构造四水平设计的均匀性将会很好.在混合偏差下,本章建立了构造出的四水平设计与其二水平基石设计之间的解析关系,从理论上为我们的预期提供了有力支撑.通过Doubling技术,克服了水平替换方法执行时所需要的限制,拓宽了基石设计的选择范围.为了研究经过Doubling技术后水平组合替换方法构造出四水平均匀设计是否仍有效,本章获得了 Double设计与其初始设计的混合偏差的解析表达式,以及Double设计与其初始设计的混杂性之间的解析关系,并给出了构造出的四水平设计的均匀性度量的一个下界.第九章对本文的工作进行总结并对未来的工作进行了展望。
【学位单位】：华中师范大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O212.6
【部分图文】：
图８．１比较和乙风２逡逑
逦口逡逑值得注意的是，定理８．４．２中的下界直接依赖于初始设计＃而引理８．４．１直接源逡逑于ＺＸ从图８．２可以看出，这两个下界，ＬＳｍ和１＾／／２，没有谁一直都比另一个更好．逡逑数值比较结果可以发现，当ｎ远远大于ｍ时第一个下界表现更好．否则，第二个下逡逑界表现的更好．逡逑由于和＾历／２各有优劣，因此，我们取它们的最大值作为一个统一的下逡逑界，用于比较不同设计的均匀性，见下述定理．逡逑定理邋８．４．３邋给定任何设计ｄ＊邋Ｇ邋Ｗ（ｎ，２ｍ）邋，邋Ｄ＊邋Ｇ邋Ｗ（２ｎ，２２ｍ）是＃的ｄｏＭＷｅ设逡逑计．设ｄ邋６邋Ｗ（２ｗ，４ｍ）是由Ｄ＊通过／／－型水平替换方法构造．如果ｄ的均匀性可以逡逑由［Ａｆ￡？（Ｄ＊）］２度量，我们有逡逑［ＭＤ（Ｄ＊）］２邋＞邋ＬＢｎ，逦（８．４．３）逡逑其中
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