求解强非线性振动问题的解析逼近方法及其应用

发布时间：2020-09-12 09:56

　　振动是工程技术与自然科学中普遍存在的现象,各种振动过程都可以在振动理论中用数学物理方法统一起来。振动理论分为线性振动理论和非线性振动理论。由于叠加原理的存在,使得线性振动理论被研究得十分详尽。相反,因为在非线性振动系统中叠加原理不再成立,所以对于非线性振动系统不存在普遍适用的解法。因此,非线性振动问题的分析与计算方法的研究就显得尤为重要。解析逼近解可以给出解的显式表达式,从而可以直接讨论相关参数对解的影响,因此解析逼近法是研究非线性振动系统的重要方法。摄动法是最普遍用于求非线性振动解析逼近解的方法,但是几乎所有的摄动法都要基于方程中小参数的存在。而这个小参数很大程度限制了摄动方法的应用,尤其是对于不存在小参数的强非线问题。谐波平衡法的优势是可以应用到强非线性和没有小参数的问题中。但是由于谐波平衡法中要得到更高阶的解析近似解需要求解一个复杂的非线性代数方程组,所以这个方法难以用来构造更高精度的解析近似解。本文提出了两种构造强非线性振动系统解析逼近周期和周期解的方法。考虑非线性振动系统d2u/dt2+f(u)= 0,u(0)= A,du/dt(0)= 0(1)恢复力-f(u)是u的奇函数,即f(-u)=-f(u),且当u≠0时,uf(u)0。显然u = 0为系统的平衡位置,系统将在对称区间[-A,A]内振动。引进变量τ = ωt,使用这个新变量,方程(1)变为如下形式Qu+ f(u)= 0,u(0)= A,u(0)= 0(2)式中Ω= ω2,符号圆点表示对τ的微分,选择这个新的独立变量可令方程(2)的解为一个关于τ的周期为2τ的周期函数。非线性振动的相应的频率为ω=(?)。周期解u(τ)和频率ω都取决于振幅A。1.二阶牛顿-谐波平衡法根据单项谐波平衡法设初始逼近为这个逼近满足(2)式中的初值条件。利用奇函数假设f(-u)=(-f,可将f(u1(τ))展成Fourier级数将式(3),(4)代入方程(2)中,并令cosτ的系数为零,可得出Ω(A)的初始逼近设方程(2)的周期解为u(τ)和频率的平方Ω(A)分别为将(6)式代入(2)式后做Taylor展开,忽略关于Au1,△Ω1的三阶及更高阶的项可得式中下标u代表f(u)对u的导数。此处的Au1是一个关于τ的周期为2π的周期函数,并且△u1和△Ω1均为未知量,上述方程仍为非线性方程,难以求解。将求解过程分为如下两部分,首先对(7)式关于△u1和AQ1线性化,得到为求方程(8)的解析近似解,将Au10(τ)设为以下形式将方程(9)代入(8),利用谐波平衡法可得到△Ω10和Au10,继而得到第二个解析逼近周期和周期解分别为接下来,将方程(7)中的△Ω1△u1项的△Ω1用先前求解出的△Ω10代替并将0.5fuu(u1)(△u1)2中的两个△u1中的一个用已求得的△u10替换,即得到关于△u1和△Q1的线性方程将(12)中的△u1(τ)设为再利用谐波平衡法求出y1,y2和△Ω1,则可得到第三个解析逼近周期和周期解我们可以通过用最后一个逼近解u3和ω3分别代替u1和ω1然后执行和上述过程类似的步骤来构造更高精度的解析逼近解。2.预估-校正-谐波平衡法根据单项谐波平衡法,首先设基于奇函数假设f(-u)=-f(u),将f(u0(τ))展成如下Fourier级数形式将方程(16)和(17)代入方程(2),令cosτ的系数为零,可以得到Ω(A)的初始逼近接下来,结合预估-校正方法和谐波平衡方法来求解方程(2)。第一步对方程(2)进行线性化,周期解和频率的平方即可表示成下述形式将(19)式代入方程(2),再关于△u10和△Ω10线性化得到方程(20)的解析逼近解可以通过将Au10(τ)设成下述形式再利用谐波平衡法求得。在解出△u10和△Ω10后可得预估的解析逼近周期与周期解基于上述预估解,方程组(2)的周期解和频率平法可以进一步表示成再将(24)式代入方程(2)中并将得到的表达式仍然在u=u0和Ω=Ω0处关于校正项△u20和△Ω20做线性化,得到方程(25)的解析解可以通过将△u20(τ)的设成下述形式再利用谐波平衡法求得,继而得到校正的解析逼近周期与周期解我们可以通过用最后一个逼近解uc和ωc分别代替u1和ω1然后执行和上述过程类似的步骤来构造更高精度的解析逼近解。我们应用上述两种方法研究了 Duffing振子,反对称的常值恢复力振子,分数幂恢复力的振子,恢复力与位移变量成反比的振子和Duffing-Harmornic振子等强非线性振动系统,建立了这些系统的高精度解析逼近周期与周期解。上述方法还可以进一步应用于更复杂的非线性问题的求解,例如微机电系统。3.微/纳机电系统的振动考虑一个由弹性材料制作的受单侧电极静电驱动的两端固支的微/纳米梁。假设气隙的大小远小于梁的长度,忽略残余应力的梯度,即将残余应力看成是均匀的。模型参数b、h(bh)以及L分别为梁的宽度、厚度以及长度,梁与电极间的气隙为g,沿轴向的应力为N,V为固定电极的电势。忽略阻尼项,此结构的无量纲运动方程可以表示成运用Galerkin方法,选择形函数可推出其单自由度缩减模型式中令关于时间的导数等于零,可以得到以梁的静态挠度as表示的电势V。接下来系统的挠度可以表示为将(32)式代入(31)式,并在a = as点,将F(as+ u,V)关于u作Taylor展开,保留增量u的一阶线性部分,可以得到线性自由振动的固有频率为非线性振动系统的降阶模型的运动方程为式中f(u,y)=F(as+u,V),此系统在非对称区间[-B,A]振动,式中与恢复力-f(u,)对应的势能Π(u,V)在-B(B0)和A点相等,也就是Π(-B,V)=Π(A,y)。接下来将恢复力-f(u,V)的分母在u= 0点做三阶Taylor展开,方程(34)可近似化为引入一个新的独立变量τ=ωt,方程(35)改写成式中Ω = ω2,(')为对于变量τ的微分。引入两个在对称域[-H,H]振动的非线性系统对于λ = +1时,H=A;λ=-1时,H=B 再利用前述两节方法中的步骤,分别求出利用这些解析近似解,方程(36)的第n个(n= 1,2)解析近似周期及周期解可以被构造成如下形式本文提出了既简单又易于应用的新方法。这些方法不要求非线性振动方程中含有小参数也不要求恢复力含有位移的线性项。这些方法建立了既适用于小振幅又适用于大振幅的解析逼近周期与周期解,特别也包括振幅趋于无穷的极限情形,且所得逼近解具有很高的逼近精度。
【学位单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2017
【中图分类】：O175;O322
【部分图文】：

解析近似,周期解,和数,软特性

以及上述解的绝对误差分别在图2.1-2.4 中画出。这些图显示公式(2. 37)无论对于硬特性( β > 0)非线性还是软特性( β < 0)非线性都能给出逼近精度很高的近似解。尤其是方程(2. 37)所表示的解析逼近周期解比 ( )W3u t 更简洁，除了2β A靠近2β A= 1 的很小范围外，他们有相似的精度。18

解析近似,周期解,和数,绝对误差

例1中α=1，β=1和A=0.9情况下解析近似周期解和数值解绝对误差的比较

解析近似,周期解,和数

例1中α=1，β=1和A=10情况下解析近似周期解和数值解的比较

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