两类自同态代数的结构性质

发布时间：2020-09-15 17:23

　　倾斜理论作为Morita等价的自然推广,在研究Artin代数的表示理论中起着重要的作用.Cluster范畴及其倾斜理论是cluster代数的一个范畴化模型.作为cluster范畴的推广,m-cluster范畴和m-cluster倾斜代数也随之而生.遗传代数的m-重代数中投射维数不超过m的倾斜模与m-cluster范畴中的m-cluster倾斜对象有一一对应的关系,并且m-重代数中几乎倾斜模的mutation序列可以实现m-cluster范畴中的m-cluster mutation,这促使我们进一步研究m-重代数的倾斜理论.研究倾斜理论主要包含两方面：一方面是固定代数的倾斜模之间的关系；另一方面是倾斜模的自同态代数的表示范畴与自身代数的模范畴之间的关系.对于一个忠实的几乎倾斜模,通过mutation序列可以把倾斜补一一得到.因此mutation在研究倾斜模和倾斜模的自同态代数起着重要的作用.设A是代数闭域上的有限维遗传代数,A的m-cluster范畴Cm(A)作为有界导出范畴Db(A)的一个商范畴,与Db(A)有着密切的联系.为了更好的讨论它们之间的关系,定义了m-cluster范畴的一个基本域Sm.对于Sm中的silting对象,这个silting对象也可以看成一个m-cluster倾斜对象,反之亦然m-cluster范畴的倾斜理论产生了大量研究结果,因此在基本域Sm中,导出范畴的倾斜理论可以借助m-cluster范畴的倾斜理论的相关内容来讨论.本文对于代数闭域上的有限维遗传代数A,在有界导出范畴Db(A), m-cluster范畴Cm(A)和m-重代数A(m)的理论基础上,讨论了有界导出范畴和m-重代数上倾斜理论的相关内容,主要讨论了Db(A)中silting对象的自同态代数和A(m)中倾斜模的自同态代数的结构性质.首先,讨论了有界导出范畴Db(A)中倾斜理论的相关内容.一方面,在m-重代数中根据倾斜mutation可以建立倾斜箭图,同样的,在m-cluster范畴中通过m-cluster mutation三角可以得到倾斜箭图.受这两个箭图的启发,我们通过Db(A)中的silting mutation三角构建了silting对象的箭图ys,并证明了ys是连通的.对于silting对象的自同态代数的箭图QT,我们说明了QT没有圈和2-循环,并且silting对象的自同态代数是一个拟-遗传代数且它的整体维数是有限的.另一方面,对于Sm中的一个基本silting对象T,令r=EndD T表示silting对象T的自同态代数,少=add T,ω=J*J[1]是一个三角范畴,我们可以得到ω/add(T[1])与mod Γ模范畴等价.这个结果说明了三角范畴诱导的商范畴能与silting对象的自同态代数的模范畴等价.这意味着可以从一个三角范畴得到很多abelian范畴.对于Sm中的一个几乎silting对象T,它有m+1个不可分解silting补M0,…,Mm.令Γj=EndD(Mj(?)T)表示Mj所对应的silting对象的自同态代数,Jj=add(Mj(?)T),ωj=Jj*Jj[1], 0≤j≤m同样的,可得ωj/add (Mj(?)T)[1]与mod Γj模范畴等价.进一步,令SMj是一个不可分解投射Γj-模HomD(Mj(?)T,Mj)的单top,则有mod Δj/add SMj与ωj/add(Mj(?)Mj-1(?)T)[1]模范畴等价.如果Jm,则有然后,讨论了A(m)中倾斜模的自同态代数的结构性质.我们给出了A(m)中倾斜模与D+中silting对象之间的一个对应关系.给定一个A(m)中的倾斜模T=T1(?)T2(?)…(?)Tn(?)P,这里每个Ti都是不可分解的,P是A(m)中所有不可分解投射-内射模的直和,且deg Ti≤deg Ti+1.即对于每一个Ti,都存在不可分解的A-模Ti'和整数ki,使得Ti竺Ω-kiTi',且0≤κi≤κi+1≤m.则T'=T1'[κ1](?)T2'[κ2](?)…(?)Tn'[κn]是D+中一个silting对象.同样的,对于D+中一个silting对象T=T1(?)T2(?)…(?)Tn,这里每个Ti都是不可分解的,且deg Ti≤deg Ti+1.即对于每一个Ti,都存在不可分解的A-模Ti'和整数ki,使得Ti=Ti'[κi],且0≤κi≤κ+1≤m.则T=Ω-κ1T1'(?)Ω-κ2T2'(?)…(?)Ω-κnTn'(?)P是一个倾斜A(m)-模.这里P是A(m)中所有不可分解投射-内射模的直和.对于一个忠实的几乎倾斜A(m)-模M,它有t+1个互不同构的不可分解补.我们证明了由相邻的补所对应的倾斜模的自同态代数,可以通过一个BB-倾斜模导出等价,即EndA(m)(χi(?)M)可以通过一个BB-倾斜模和EndA(m)(Xi+1(?)M)导出等价,0≤i≤t-1.同时可以得到这t+1个自同态代数之间的关系,即这里Bi都是BB-倾斜模.根据导出等价的不变性,自同态代数EndA(m)(Xi(?)M)和自同态代数EndA(m)(Xi+1(?)M)保持整体维数和小维数的有限性.我们还证明了对于所有A(m)中的倾斜模的自同态代数,都能通过一系列的BB-倾斜模的自同态代数反复迭代所实现.即对于A(m)中的每一对基本的倾斜模T1,T2,总是存在一系列的有限维代数Λ0,Λ1,…,A。,它们都是A(m)中的基本倾斜模的自同态代数.对于每一个Λi,总是存在一个BB-倾斜模Ai-模Bi,使得(?)0=EndA(m)T1, (?)≌End(?)i-1Bi-1,1≤i≤s, EndA(m)T2≌End(?)sBs
【学位单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O154.1

【参考文献】