耗散系统仿射周期解的存在性

发布时间：2020-09-17 10:49

　　耗散系统[1,2,3]作为深刻重要的系统广泛地存在于自然界当中,周期解的存在性也是微分方程领域中最为重要的课题之一.对耗散系统周期解的存在性研究在理论和应用中有着重要的意义. 数学家对微分方程周期解的研究由来已久.从Newton应用万有引力定律证明Kepler运动定律到Poincare研究天体问题证明了著名的Poincare周期定理.上世纪初Hilbert提出了关于多项式系统极限环个数的著名的第16问题.上世纪四十年代后期,N. Levinson, T. Yoshizawa, J. L. Massera, T. A. Buiton, Chow.S.N.等学者作了大量的工作[4,5,6,7],至今发表了数量众多的文章[11]-[21],涵盖了微分方程中大多数的系统和不同的周期类型,大大推动了微分方程周期解研究深度和广度,其中最为经典的是Massera准则[8]和Yoshizawa定理[9].1950年J.LMassera对平面周期系统：x'=f(t,x),f(t+w,x)=f(t,x)建立了周期解存在性定理,证明了如果此方程存在一个正向有界解,那么方程至少存在一个周期为ω的周期解,并对高维线性周期系统证明了类似结果. 很多学者对这两个重要的定理进行了更加深入的研究：一是将这两个结果推广到更广泛的方程类型上去.二是不断减弱定理中的条件.1973年,Chow S. N对有限时滞的线性纯量滞后型周期微分方程[7]：x'(t)=L(t,xt)+f(t),其中xt(.)=x(t+.)∈C([-r,0],R),L:(-∞,+∞)×C→R关于t是ω周期的,且满足ω≥r,L和f连续,f同样是以ω为周期的.利用常数变易公式,得出了类似Massera准则的结果：当r≤ω且上述微分方程存在一个有界解,则其存在一个以ω为周期的周期解Chow S.N虽然将Massera准则推广到了具有有限时滞的线性纯量滞后型周期泛函微分方程,但这个结果有ω≥r的小时滞限制. 1999年,李勇等推广了Chow S.N的结果[22],去掉了ω≥r的限制,证明了超前型及滞后型泛函微分方程存在周期解当且仅当其存在有界解.随后又将Massera的结果推广到Banach空间中的周期线性发展方程.目前,Lienard方程,具有时滞性的非自治微分方程,几乎自守的非自治有界微分方程等等都有类似Massera准则的结果被给出[23,24]. 用常微分方程描述的模型所表示的变化规律只与当前时刻的状态相关,与系统之前的历史状态无关,这是一种很理想的状态.但是客观事物的变化规律不仅仅和系统的即时状态有关系,也和其历史状态和进程息息相关.这种意义下,用常微分方程表述模型就存在一定的局限性,我们需要一种新的表达和刻画方式,来考虑和处理时滞对系统造成的影响,泛函微分方程便应运而生,其主要特点就是带有时间滞后的微分方程,可以精确刻画既依赖于当前状态也依赖于历史状态的发展系统,在诸多领域中都起着十分重要的作用,将常微分方程的结论向泛函微分方程推广也有着重要的意义. 1966年,T.Yoshizawa利用Browder不动点定理[25]证明了如果n维ω周期常微分方程系统等度最终有界,则系统存在ω周期解[26].同年,T.Yoshiza-wa[27]对具有有限时滞的滞后型周期泛函微分方程周期解的存在性进行研究,将Massera准则推广到泛函微分方程上,建立了著名的Yoshizawa定理：考虑带有有限时滞的滞后型泛函方程：x=f(t,xt),t≥0,其中xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],||θ||=sup|φ(θ)|,φ∈C,C为将[-r,0]映射到Rn的连续函数组成的空间. Yoshizawa对上述具有有限时滞的滞后型周期方程证明了当时滞r≤ω时,如果此泛函方程的解一致有界且关于B一致最终有界,则方程至少存在一个以ω为周期的周期解. 在人们的共同努力下,为数众多类型的周期系统的Yoshizawa定理型的结果已经被纷纷建立了起来.1985年,T. A. Burton[28]证明了对于某些具有无限时滞的ω-周期积分微分方程,如果初始函数有界,且方程的解具有一致有界和一致最终有界,则方程存在以mω为周期的周期解.同年,T. A. Burton自己又进一步将结果优化为存在ω-周期解[29,30,31].1989年,T. A. Burton[32]在Cg空间的基础上,对具有弱衰减记忆性质的无限时滞的滞后型周期泛函方程建立的Yoshizawa定理型的结果.1988年,学者们在中立型泛函微分方程上推广了Yoshizawa定理,这是一种更为广泛的泛函方程类型：其中xt(θ)=x(t+θ),当θ∈[-r,0]时,方程为具有有限时滞的中立型泛函微分方程,当θ∈(-∞,0]时,方程为具有无限时滞的中立型泛函微分方程.可以显而易见的看出在满足某种条件时,中立型泛函微分方程就是带有时滞的滞后型泛函微分方程. 1994-2000年,Liu[33,34,35]先后对Banach空间中不具有时滞的周期发展方程,具有有限时滞的周期发展方程和具有无限时滞的周期发展方程分别建立了Massera准则、Yoshizawa定理型的周期解存在判定定理.证明了如果上述周期发展方程存在有界且最终有界的解,则其存在周期解. 本文也是按照这个方向,将Massera准则和Yoshizawa定理推广到具有Q-仿射周期的仿射耗散系统,研究其的仿射周期解存在性问题.当系统f(t,x)满足f(t+T,x)＝Qf(t,Q-1x)时,我们称系统具有Q-仿射周期性.当我们对Q赋予不同的值时,仿射周期便可简化为常见的T-周期或反周期. 仿射耗散是指系统f(t,x)满足：存在B00,使得对任意B0,存在M=M(B)0,L=L(B)0,使得当|x0|≤B时,有|x(t,xo)|≤M,∨t∈[0,L],|Q-mx(t+mT,x0)|≤B0,(?)t+mT∈[L,∞),m∈Z. “工欲善其事,必先利其器”.以Yoshizawa周期解定理为例,其证明主要是利用Browder不动点定理.而本文的主要结果则是以Horn不动点定理[36]为核心工具给出的.1970年,W.A.Horn发展了F.E.Browder于1959年发表的不动点方面的结果,证明了：设X为有限维向量空间,S0(?)S1(?)S2为X中的有界凸集,其中S0,S2是闭集,S1为S0的一个相对于S2的开邻域,连续映射f：S2→X对于某个m正整数满足：(1)fj(S1)(?)S2,1≤j≤m-1,(2)fj(S1)(?)S0,m≤j≤2m-1.则映射.f在S0中存在不动点. 为了更好的理解本文的工作,我们将给出Horn不动点定理的完整证明.进一步通过构造满足Horn不动点定理的S0,S1,S2,得到关于有Q-仿射周期的仿射耗散系统的仿射周期解存在性的结果：定理1：若系统x'=.f(t,x)为具有Q-仿射周期的仿射耗散系统,则系统存在Q-仿射周期解. 以及应用Lyapunov函数来研究耗散系统仿射周期解存在性的结果：定理2：假设系统x'=f(t,x)存在Lyapunov函数V：R+1×Rn→R+1满足：i)V(t,x)∈C1； ii)V'(t,x)≤-W(t,x),|x|≥M0,W(t,x)在R+1×{|x|≤M}上连续,且|x|≥M时有W(t,x)≥α0； iii)在t上一致满足：那么此系统存在一个Q-仿射周期解. 有了上述的结果,对于一些具体的Q-仿射周期的仿射耗散方程,例如：x'+2x=e-t和满足某些条件的系统可以清楚快速的判断其周期解的存在性. 我们也得到了泛函微分方程形式下关于有Q-仿射周期的仿射耗散系统的放射周期解存在性的结果：定理3：系统x'=F(t,xt)为具有Q-仿射周期的仿射耗散系统,则系统存在Q-仿射周期解. 本文还深入探讨了具有Q-仿射周期的线性系统x'=A(t)x+g(t)的Massera准则：定理4：：若具有Q-仿射周期的线性系统x'=A(t)x+9(t)有一个Q-仿射有界解x0(t),则其存在一个Q-仿射周期解x*∈co{Q-mx0(mT)}m=0∞. 以此结论为基础,我们还对具有Q-旋转周期的非线性系统的Q-旋转周期解的存在性的上下解方法进行研究,得到如下结果：定理5：：设Q∈SO(n),并且系统x'=f(t,x)具有Q-旋转周期性.假设 i)系统x'=g(t,x)存在C1的上下解β和α,且有：Ω(t+T)=QΩ(t)(?)t； ii)函数g(t,x)为一个关于Ω(t)的Kamke型函数： iii)如下关系式成立：那么,系统x'=f(t,x)存在一个Q-旋转周期解x*(t)满足α(t)≤x*(t)≤β(t)(?)t.
【学位单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O175

【共引文献】