变系数分数阶次扩散方程的高阶紧有限差分方法

发布时间：2020-10-11 03:43

　　 分数阶偏微分方程广泛应用于科学与工程领域.本文主要针对变系数分数阶次扩散方程的初边值问题构造几种高阶紧有限差分方法,并给出相应的数值分析.本文由如下六章组成:第一章简要介绍了本文的研究背景和研究动机.第二章构造和分析了求解一类变系数时间分数阶对流-反应-扩散方程的紧有限差分方法.方程的对流和反应系数依赖于空间变量.基于一些新的技巧以及时间分数阶导数的L2-1逼近公式和空间导数的四阶紧有限差分逼近,我们建立了一种紧有限差分方法,并详细讨论了该方法的局部截断误差和可解性.利用离散能量分析法严格证明了方法的无条件稳定性及其时间二阶收敛性和空间四阶收敛性.然后,建立的紧差分方法被推广到对流和反应系数同时依赖于时间和空间变量的一般情形.另外,我们还提出了一种具有高阶精度的组合紧有限差分方法.数值结果验证了这些方法的有效性.第三章继续研究第二章考虑的变系数分数阶次扩散方程.基于时间分数阶导数的加权位移Gr(?)nwald-Letnikov公式和空间导数的紧有限差分逼近,我们建立了一种无条件稳定的高阶紧差分方法,并详细讨论了紧差分格式的局部截断误差和可解性.用离散能量法严格证明了该方法的稳定性及其时间三阶收敛性和空间四阶收敛性.将差分方法与Richardson外推相结合,我们给出了一种时间和空间精度均为四阶的外推紧差分方法,并且对外推法的收敛性给出了严格的理论证明.数值结果验证了理论分析,并表明了紧差分方法的精度和外推紧差分方法的有效性.第四章建立和分析了求解一类守恒形式的变系数时间分数阶次扩散方程的高阶紧有限差分方法.我们用基于分段二次插值多项式的2公式离散阶Caputo时间分数阶导数((?)∈(0,1)),同时用一个四阶紧有限差分算子逼近变系数空间微分算子.针对变系数的一般情形和所有的(?)∈(0,1),通过发展一种离散能量分析技巧,我们全面给出了方法的稳定性和收敛性分析,并获得了L~2范数下的最优误差估计.误差估计表明建立的方法具有时间3-(?)阶精度和空间四阶精度.为了提高方法的应用性,我们讨论了进一步的逼近.最后,建立的方法被应用于三个模型问题,数值算例验证了理论分析结果.第五章继续研究第四章考虑的变系数分数阶次扩散方程.基于时间分数阶导数的Lubich差分算子和空间导数的紧有限差分逼近,我们建立了一组紧有限差分方法.建立的方法具有收敛阶(?)((?)~h4),其中(?)≥2是正整数,(?)和h分别是时间步长和空间步长.这样的高阶紧差分方法改进了文献中已有的方法.我们详细讨论了方法的局部截断误差和可解性.针对变系数的一般情形和2≤(?)≤6,通过将离散能量分析技巧应用于方法的矩阵形式,我们严格给出了方法的稳定性和收敛性分析,并获得了加权H~1,L~2和L~∞范数下的最优误差估计.最后,建立的方法被应用于两个模型问题,数值结果验证了方法的收敛阶.第六章总结了本文的主要结果并概括了未来值得研究的工作.
【学位单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.8
【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章 绪论
    1.1 研究背景和发展现状
    1.2 本文的研究动机和意义
    1.3 本文的主要工作和创新点
    1.4 本文的记号和常用引理
        1.4.1 时间区间[0,]的网格剖分和网格函数
        1.4.2 空间区间[0,]的网格剖分和网格函数
        1.4.3 本文的常用引理
第二章 变系数时间分数阶对流-反应-扩散方程的紧有限差分方法
    2.1 引言
    2.2 紧有限差分方法
    2.3 截断误差和可解性
    2.4 格式(2.2.27)的稳定性和收敛性
    2.5 格式(2.2.29)的稳定性和收敛性
    2.6 更一般变系数情形的紧有限差分方法
    2.7 数值结果
    2.8 本章小结
第三章 变系数时间分数阶对流-反应-扩散方程的四阶外推紧差分方法
    3.1 引言
    3.2 紧有限差分方法
        3.2.1 加权位移Gr¨unwald-Letnikov公式的渐近误差展开
        3.2.2 一个测试算例
        3.2.3 紧有限差分格式的建立
    3.3 截断误差和可解性
    3.4 稳定性和收敛性
    3.5 紧有限差分方法的Richardson外推
    3.6 数值结果
    3.7 本章小结
第四章 守恒形式的变系数分数阶次扩散方程的高阶2-紧有限差分方法
    4.1 引言
    4.2 紧有限差分方法
        4.2.1 空间离散
        4.2.2 时间离散
        4.2.3 紧有限差分格式的建立
        4.2.4 局部截断误差和可解性
    4.3 稳定性和收敛性
        4.3.1 格式(4.2.28)的一种合适的矩阵形式
        4.3.2 先验估计
        4.3.3 稳定性和收敛性分析
    4.4 进一步的逼近
        4.4.1 关于时间第一层上的逼近
        4.4.2 进一步的空间逼近
    4.5 数值结果
    4.6 本章小结
第五章 守恒形式的变系数分数阶次扩散方程的高阶紧有限差分方法
    5.1 引言
    5.2 Caputo分数阶导数的逼近公式
        5.2.1 Lubich差分算子
        5.2.2 逼近公式
        5.2.3 两个测试算例
    5.3 紧有限差分格式
    5.4 稳定性和收敛性
        5.4.1 格式(5.3.6)的一种合适的矩阵形式
        5.4.2 稳定性和收敛性分析
    5.5 进一步讨论
        5.5.1 关于零-导数条件
        5.5.2 进一步的空间逼近
    5.6 数值结果
    5.7 本章小结
    5.8 附录
第六章 总结与展望
    本文总结
    展望及未来工作
参考文献
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致谢
作者简历


本文编号：2836008