几类生物数学系统的高余维分岔研究
发布时间：2020-10-15 06:30
通过对生物数学系统的研究可以揭示自然界中复杂生态现象发生的本质,并以此来指导人类对生态系统进行合理的保护与开发,因此对生物数学系统的动力学性态进行研究具有很好的现实指导意义。本文主要利用微分方程的定性理论、分岔理论、中心流形定理、谱理论、扰动理论以及规范型理论,对几类生物数学系统的动力学行为进行了比较完整的分析。在第三章中我们讨论了一类带有Michaelis-Menten型被捕食者收割项的Leslie-Gower捕食者与被捕食者系统。在已有文献的基础上我们重点探究了系统在其唯一内部平衡点附近的高余维分岔现象。我们发现在适当的参数条件下系统的唯一内部平衡点可以是余维一的鞍-结点、余维二和余维三的Bogdanov-Takens型尖点,并利用解析的方法证明了系统发生了余维二和余维三的Bogdanov-Takens分岔。为了探究当在同一生物系统中利用相同的收割方式对不同种群进行收割时,系统的动力学性态所发生的变化,我们接着在第四章中考虑了一类对捕食者进行Michaelis-Menten型收割的Leslie-Gower捕食者与被捕食者系统。结果表明此时系统具有更加丰富的动力学性态,系统的平衡点可以是拓扑鞍点、结点、焦点或中心、余维一的鞍-结点、余维二的非双曲结点、余维二和余维三的尖点等。系统也发生了复杂的分岔现象,如鞍-结分岔、跨临界分岔、音叉分岔、Hopf分岔、同宿轨分岔、余维二或余维三的Bogdanov-Takens分岔等。在文章的最后我们均进行了适当的数值模拟,并对这些复杂的分岔现象给出了合理的生物学解释。为了研究带有耗散项的反应-扩散系统的时空动力学性态,在第五章中我们分析了一类具有一般性的Brusselator反应-扩散系统的余维二Turing-Hopf分岔。我们首先利用拉普拉斯算子的谱理论将偏微分方程转化成了由可数个对偶微分方程组成的系统,通过求解系统在一致稳态解处的线性化矩阵的特征值得到了系统在常数稳态解附近出现Turing不稳定性和余维二Turing-Hopf分岔的横截性条件,然后通过中心流形定理分析了其扰动系统在中心流形上的规范型,证明了系统在适当的参数条件下将会发生余维二的Turing-Hopf分岔。最后针对一个具体的例子对伴随其发生余维二Turing-Hopf分岔所出现的六种复杂动力学行为进行了数值模拟以验证理论结果的有效性。
【学位单位】：重庆大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175
【部分图文】：
图 2.1：系统(2.20)的分岔图表Fig.2.1: Bifurcation diagram of system (2.20)0,01120 b b 时，( 0,0)将会是系统(2.17)的一个余维结论。系统(2.17)满足 20,0201120a b b ，则系统(2.17)等 ,,23yxxyxy 下的普适开折 .,23123yyxyxxyxy (,,,,,)(,,,,,)123123x yt x y t 可以将系统(2，我们只需要研究如下形式的系统 .,23123yyxyxxyxy 时，系统(2.23)没有平衡点，而在 (,,)(0,
小邻域内且在曲线 和 之间时，系曲线 上且不与点2h 重合时，系统会出参数在曲线 上从右到左穿过弧 1 2b h 时在曲线 上从左到右穿过弧 2 2h b 时，系，系统发生阶数为二的 Hopf 分岔。当参会出现阶数为一的同宿轨分岔，具体来说 1 2 hl 时，鞍点的两条分界线交换它们的位当参数在曲线 上从右到左穿过弧 2 hl 且系统中出现一个稳定的极限环。当参数分岔。当参数在曲线 和 的横截交点pf 分岔和阶数为一的同宿轨分岔。当参数在里面的一个是稳定的外面的一个则是不，两个极限环合并成一个极限环，且当极限环。
图 3.1：系统(3.23)的分岔图表 图 3.2：余维二的尖点Fig.3.1:Bifurcation diagram of system (3.23) Fig.3.2: A cusp of codimension 2图 3.3：无内部平衡点 图 3.4：一个鞍点和一个不稳定的焦点Fig.3.3: No interior equilibria Fig.3.4: A saddle and an unstable focus
【参考文献】
本文编号：2841827
【学位单位】：重庆大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175
【部分图文】：
图 2.1：系统(2.20)的分岔图表Fig.2.1: Bifurcation diagram of system (2.20)0,01120 b b 时，( 0,0)将会是系统(2.17)的一个余维结论。系统(2.17)满足 20,0201120a b b ，则系统(2.17)等 ,,23yxxyxy 下的普适开折 .,23123yyxyxxyxy (,,,,,)(,,,,,)123123x yt x y t 可以将系统(2，我们只需要研究如下形式的系统 .,23123yyxyxxyxy 时，系统(2.23)没有平衡点，而在 (,,)(0,
小邻域内且在曲线 和 之间时，系曲线 上且不与点2h 重合时，系统会出参数在曲线 上从右到左穿过弧 1 2b h 时在曲线 上从左到右穿过弧 2 2h b 时，系，系统发生阶数为二的 Hopf 分岔。当参会出现阶数为一的同宿轨分岔，具体来说 1 2 hl 时，鞍点的两条分界线交换它们的位当参数在曲线 上从右到左穿过弧 2 hl 且系统中出现一个稳定的极限环。当参数分岔。当参数在曲线 和 的横截交点pf 分岔和阶数为一的同宿轨分岔。当参数在里面的一个是稳定的外面的一个则是不，两个极限环合并成一个极限环，且当极限环。
图 3.1：系统(3.23)的分岔图表 图 3.2：余维二的尖点Fig.3.1:Bifurcation diagram of system (3.23) Fig.3.2: A cusp of codimension 2图 3.3：无内部平衡点 图 3.4：一个鞍点和一个不稳定的焦点Fig.3.3: No interior equilibria Fig.3.4: A saddle and an unstable focus
【参考文献】
相关期刊论文 前2条
1 汪维刚;史娟荣;莫嘉琪;;捕食-被捕食微分方程种群模型的研究综述[J];武汉大学学报(理学版);2015年04期
2 ;Analyses of Bifurcations and Stability in a Predator-prey System with Holling Type-Ⅳ Functional Response[J];Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series);2004年01期
本文编号：2841827
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