偏微分方程的守恒律及有关变分方法

发布时间：2020-10-15 20:59

　　 随着非线性科学的飞速发展,在物理学、力学、经济学和工程等领域中出现了大量的非线性偏微分方程(组)(以下简称PDEs).众所周知,求解非线性PDEs在理论和实际上均有很重要的研究意义.在大多数情况下,非线性PDEs的求解只能依赖于数值解法,但数值解有难于刻画解的一般特性等很多局限性.因此,以求解PDEs解析解及相关属性为目的的各种理性分析显示了很重要的理论意义和应用价值.PDEs与各类变分方法之间有着密切联系,特别是He—变分方法、变分迭代方法和变分导数方法对揭示PDEs的相关属性方面能够起到积极作用.He—变分方法是求解PDEs的一种简单而有效的方法,它基于行波变换、半逆解法技巧和建立变分泛函策略,通过将预先选取的假设解代入变分公式并观察其驻点,进而构造给定方程的孤立波解.变分迭代方法可以有效地解决各种线性、非线性和具有初值和边界值条件的问题,是一种有效的逐步提高近似解精度的方法.该方法借助校正泛函和拉氏乘子,通过迭代公式得到方程的近似解或精确解.变分导数方法是解决PDEs诸多问题的直接方法,它主要用变分导数(Euler算子)作用于对应微分算子,进而导出乘子、守恒积分、Lagrangian函数等重要结论.对称和守恒律是PDEs的两大重要属性,对称反应非线性PDEs结构的规律,守恒律反映非线性PDEs运动变化的特征.守恒律对PDEs可积性、解的性质和数值解的发展与研究方面具有重要的应用.因此,构造方程的守恒律显得尤为重要,本文中引入变分导数方法和对称—共轭对称'对'方法.变分导数方法基于变分导数(Euler算子)确定方程的乘子集,再利用乘子策略推出方程的守恒律.对称—共轭对称'对'方法借助Frechet导数及其共轭Frechet导数导出PDEs的对称特征形式和共轭对称,再用一种双线性斜对称恒等式产生给定PDEs的守恒律.综上,发挥变分方法技巧和守恒律思想,推出非线性PDEs的相关属性是可期待的.本文具体研究工作安排如下:第一章,简要介绍PDEs领域中的孤立子、变分类方法、Lie对称和守恒律研究现状及本文工作概况.第二章,介绍了He—变分方法、变分迭代法、变分导数法与对称—共轭对称'对'方法的主要思想及算法框架.第三章,利用第二章中所介绍的方法和计算机代数系统(Maple、Mathematica)解决几种重要PDEs的求解及守恒律的构造问题.(1).应用He—变分方法构造了 Cubic非线性Schodinger方程和Dave-Stewartson方程组的孤立波解,同时也求出广义Zakahar ov方程组的光孤子解;(2).使用变分迭代法,数值模拟Whitham-Broer-Kaup方程组和mKdV方程的行波解;(3).基于吴方法和变分导数方法,导出非线性Compacton ZK方程多种情形下的无穷乘子和无穷守恒律;(4).借助Frechet导数及其共轭Frechet导数,利用对称—伴随对称'对'方法构造电报系统和色散长波方程组的诸多守恒律.第四章,对全文工作进行简要总结,并展望未来的延伸研究方向和工作.
【学位单位】：内蒙古工业大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175.2
【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章 绪论
    1.1 孤立子
    1.2 变分类方法
    1.3 Lie对称
    1.4 守恒律
    1.5 本文的工作
第二章 几种变分类方法及对称—共轭对称'对'方法
    2.1 He-变分方法
    2.2 变分迭代法
    2.3 变分导数方法
    2.4 对称—共轭对称'对'方法
第三章 几类方法在PDEs中具体应用
    3.1 利用He-变分方法构造非线性PDEs的孤立波解
        3.1.1 CNS方程的孤立波解
        3.1.2 DS方程组的孤立波解
        3.1.3 广义Zakaharov方程组的光孤子解
    3.2 利用变分迭代法数值模拟PDEs的行波解
        3.2.1 WBKs行波解的数值模拟
        3.2.2 mKdV方程行波解的数值模拟
    3.3 利用变分导数法构造非线性CZK方程的无穷乘子和无穷守恒律
        3.3.1 (2+1)-CZK(n,n)方程的无穷乘子和无穷守恒律
        3.3.2 (2+1)-CZK(-n,-n)方程的无穷乘子和无穷守恒律
        3.3.3 (3+1)-CZK(n,n)方程的无穷乘子和无穷守恒律
        3.3.4 (3+1)-CZK(-n,-n)方程的无穷乘子和无穷守恒律
    3.4 利用对称—共轭对称'对'方法构造非线性PDEs守恒律
        3.4.1 电报系统的守恒律
        3.4.2 色散长波方程组的守恒律
第四章 总结与展望
参考文献
致谢
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【参考文献】

相关期刊论文 前5条

1 特木尔朝鲁;额尔敦布和;郑丽霞;;扩充偏微分方程(组)守恒律和对称的辅助方程方法及微分形式吴方法的应用[J];应用数学学报;2007年05期

2 曹金龙;邓习军;;Whitham-Broer-Kaup方程的行波解分支[J];昆明理工大学学报(理工版);2006年04期

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5 阮航宇,楼森岳;Whitham-Broer-Kaup浅水波方程的对称性约化[J];物理学报;1992年08期

本文编号：2842238