控制论中几类Sylvester矩阵方程的数值算法研究

发布时间：2020-10-20 19:18

　　 Sylvester方程是控制理论和许多其它工程领域内很重要的方程,由于它广泛的应用背景,Sylvester方程已经吸引了许多研究者的广泛关注.因此,快速而有效地求解Sylvester方程已成为数学研究中的热点问题.本文针对控制论中几类Sylvester方程进行详细地理论分析和算法研究,得出一些较好的数值结果.本文组织结构如下:绪论,介绍了 Lyapunov方程、Sylvester方程、Riccati方程的来源及应用.对近几年来Sylvester方程的研究现状也进行简单介绍.第1章,研究了修正共轭梯度算法(MCG)求解广义Sylvester共轭方程AXB+CXD=E的极小范数哈密顿解.首先,介绍了求解线性方程的共轭梯度算法(CG)及广义Sylvester共轭方程的MCG算法.接着,在不计舍入误差的情况下,证明了对任意初始矩阵该算法在有限迭代步内是收敛的;通过选择特殊类型的初始矩阵,获得了极小范数解.数值实验验证了这种方法的有效性.第2章,研究了共轭梯度最小二乘算法(CGLS)求解广义耦合Sylvester共轭方程A1X+B1Y=D1XE1+F1,A2Y+B2X=D2YE2+F2的解.当方程是相容的,获得了精确解;当方程是不相容的,在不计舍入误差的情况下,通过有限迭代步获得了最小二乘解.数值例子说明了这种方法的有效性.第3章,通过广义共轭方向算法(GCD)求解广义耦合Sylvester转置矩阵方程A1XB1+C1YTD1=E1,A2XTB2+C2YD2=E2的自反(反自反)解,证明了在不计舍入误差的情况下,该算法在有限迭代步内是收敛的;通过选择特殊类型的初始矩阵,获得了极小范数解.数值实验验证了这种方法的有效性.第4章,在HSS迭代法的基础上,构造一种广义参数埃尔米特和反埃尔米特分裂(GPHSS)迭代法求解Sylvester方程AXB=C,给出了一般收敛性准则,通过分析谱半径的相关性质,得出了最优参数,数值实验表明了这种方法的可行性.
【学位单位】：福建师范大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O241.6
【部分图文】：

＾?－０．０３３７＋?０．０４１２ｉ?－０．０９９１?＋?０．０６４６ｚ?０．０２８４?＋?０．１３０９ｉ?０．００００?＋?０．０１２４ｚ?ｙ??（Ｒ１２，?Ｒｎ）?＝?２．６７６２?ｘ?１０￣２１?＜?ｌＯ－１２，?｜｜Ｘ１２｜｜２?＝?０．３３４８．??迭代步数与残差之间的关系如图１．１所示．??１〇１０［－－?■?■?＇?＇?■?■?■?■?－??０?Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ?ｓｏｌｕｔｉｏｎ??—－＊Ｍｉｎｉｍａｌ－ｎｏｒｍ?ｓｏｌｕｔｉｏｎ??Ｉ，〇°?．??Ｉ?Ｉ??ｉ〇－１０?■??Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ?ｎｕｍｂｅｒ??图１．１迭代步数与残差的关系??例１．４．２．在这个例子中，我们用函数１０＊?（ｒａｎｄ（ｍ，ｎ）?－?０．５）在ＭＡＴＬＡＳ中运行??获得叛阵．函数１０?＊?（ｒａｎｄ（ｍ，ｎ）?—?０．５）生成一个ｍ?ｘ?７１的随机矩阵．用这种方式，可??获得矩阵次５，（７，￡＞以及由方程（１丄１），我们可计算出五．现在７考虑下面的矩阵．？??／?０．４８６８?＋?２．５６７９ｉ?３．７７１６?－?３．２７７２？?－２．４１８８?－?２．８２０５ｉ?－１．８７５４?－?２．５９８２ｚ?＼??Ａ＝?３．３０８２?－?２．３３３６ｉ?２．５４８９?－?３．４８１２ｚ?２．３４１３?＋?２．６３６＆?４．０３６６?－?１．４５７８ｉ?

－５．７９０２?＋?３．５３３８？：?２．８９０６?＋?５．７８１５？：?－４．７８０７?＋?４．０１４１ｉ?０．００００?＋?１．１７６２ｉ?ｙ??Ｒ１Ｓ）?＝?１．９２０１?ｘ?１０＇１９?＜?ｌ〇－１２；?｜｜Ｘ１３｜｜２?＝?７６１．１２０８．??迭代步数与残差的关系如图１．２所示．??２８??

＼?３．９２６０?－?３．１４４３ｚ?１．４６２８?＋?３．８８２０ｉ?－３．１７８７?＋?３．５３９８ｉ?０．００００?＋?０．５３７６ｚ?｝??〈只２８，尺２８〉＝?１．８２６５?ｘ?１０—１４?＜?１ＣＴ１２，｜｜Ｘ２８｜｜２?＝?２７．２７８８．??迭代步数与残差关系如图１．３所示．??例１．４．４．在这个例子中，我们考虑下面矩阵：??（－１．９６７８?－?３．６２４４ｉ?２．６９０７?＋?０．２４４４ｉ?－４．３９３１?＋?１．７２７３ｉ?２．３９７９?＋?２．４０２３ｉ?＼??Ａ！?＝?２．８０１２?－?０．７５９１２?１．３８９４?＋?２．５４４８ｚ?－３．２４２３?＋?１．１８６５ｉ?３．９２９５?＋?４．９１７４ｚ?，??Ｖ?０．３６９６?＋?２．６４５７ｉ?３．９３１５?－?３．３０２０ｉ?－０．８３６７?－?４．９３１５ｉ?－４．７４１５?－?３．７１８２ｉ?／??３１??
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本文编号：2849057