图的秩及其相关问题的研究

发布时间：2020-10-23 00:50

　　 图的秩和能量是图谱理论中两个重要的研究课题,它们来源于化学领域的研究,一直是国内外专家学者关注的热点问题.1957年,Collatz和Sinogowitz提出了以下公开问题:刻画所有满足秩小于阶数的图类.这一问题直到今日还没有被完全解决.图的秩和能量之间存在着密切关系:对一个简单(定向)图来说,它的能量(斜能量)大于等于秩(斜秩).混合图的Hermitian-邻接矩阵是近两年图谱理论中的一个新的研究方向,它的秩与能量之间有什么样的关系?这一问题还没有被解决.围绕以上两个问题,本文主要研究了定向图的斜秩,符号图的秩,(?)-gain图的秩以及混合图Hermitian-Randi(?)矩阵与Hermitian-Randi(?)能量.主要研究成果如下:1.给出计算定向图斜秩的两种方法:“删圈法”与“删边法”.运用定向图斜秩与其子图斜秩关系,“删圈法”得到了一类k圈定向图的斜秩及其相关极图;运用定向图的斜秩性质,矩阵的秩性质,“删圈法”和“删边法”等完整刻画了斜秩为6的所有双圈定向图;运用矩阵秩不等式和“删圈法”等得到了定向图的斜秩关于其基图秩与圈基数的一个下界,并刻画了相应的极图.2.给出一种计算符号图秩的方法.结合这一方法与符号图的秩性质以及矩阵秩不等式得到了非平衡符号图的秩与其基图秩之间关于圈基数的关系,并刻画了相应的极图.解决了对任意的符号图,它的秩与其基图秩之间关系这一问题.3.给出一种计算(?)-gain图秩的方法.结合这一方法与switching函数,矩阵的秩性质等刻画了秩为2,3或4的所有(?)-gain双圈图.运用δ-变换以及矩阵的秩性质得到了(?)-gain图的秩关于其基图秩与圈基数的上下界,并刻画了所有相应的极图.4.首次定义了混合图的Hermitian-Randi(?)矩阵与Hermitian-Randi(?)能量.这一矩阵与Hermitian-邻接矩阵具有相同的秩.结合群论中置换群的知识给出混合图的Hermitian-Randi(?)特征多项式系数的计算公式.运用Cauchy-Schwarz不等式与算术几何平均不等式等给出混合图的Hermitian-Randi(?)能量关于不同参数的上下界,并刻画相应的极图.证明了混合树的Hermitian-Randi(?)能量与其基图的Randi(?)能量是相同的.
【学位单位】：西北工业大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O157.5
【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章 绪论
    1.1 引言
    1.2 基本概念和术语
    1.3 图的秩的研究进展
        1.3.1 简单图秩（零度）的研究进展
        1.3.2 定向图斜秩的研究进展
        1.3.3 符号图秩（零度）的研究进展
        1.3.4 （?）-gain图秩的研究进展
        1.3.5 混合图H-秩的研究进展
        1.3.6 图的秩与能量之间的关系
    1.4 本文主要工作
    1.5 本文的创新点
第二章 斜秩为6的双圈定向图以及定向图的斜秩与其基图秩的关系
    2.1 预备知识
    2.2 一类k圈定向图（k-玫瑰图）的斜秩
    2.3 斜秩为6的双圈定向图
    2.4 定向图的斜秩与其基图秩之间的关系
第三章 符号图的秩与其基图秩的关系
    3.1 预备知识
    3.2 非平衡符号图的秩与其基图秩之间的关系
    3.3 上界（下界）最优非平衡符号图极图的刻画
第四章 （?）-gain双圈图的秩以及（?）-gain图的秩与其基图秩的关系
    4.1 预备知识
    4.2 （?）-gain双圈图秩的界
    4.3 秩为2,3或4的（?）-gain双圈图
    4.4 （?）-gain图的秩与其基图秩之间的关系
        4.4.1 （?）-gain图的秩与其基图秩之间的关系
        4.4.2 上界（下界）最优（?）-gain图极图的刻画
第五章 混合图的Hermitian-Randi（?）矩阵及能量
    5.1 预备知识
    5.2 混合图的Hermitian-Randi（?）特征多项式
    5.3 混合图的Hermitian-Randi（?）能量的界
    5.4 混合树的Hermitian-Randi（?）能量
第六章 总结和展望
    6.1 全文总结
    6.2 有待进一步研究的问题
参考文献
攻读博士学位期间完成的学术论文,作者简介及课题来源
致谢

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本文编号：2852321