有外界扰动下耦合的偏微分系统的稳定性分析

发布时间：2020-10-24 05:25

　　 随着科学技术的发展,耦合系统的相关问题有着越来越广阔的应用背景,已经成为科学工作者们所关注的问题,本文对给定的耦合系统做出研究,全文共分为三章.第一章我们介绍了耦合弹性振动问题的背景、国内外研究现状,并且给出了相关的预备知识.第二章我们考虑了如下耦合的偏微分系统utt(x,t)= uxx(x,t)+ α(v(x,t)-u(x,t)),(x,t)∈(0,1)×(0,+∞),vtt(x,t)= vxx(x,t)+ α(u(x,t)-v(x,t)),(x,t)∈(0,1)×(0,+∞),ux(0,t)=0,t0,vx(0,t)= 0,t0,ux(1,t)=-βut(1,t)-γu(1,t),t0,vx(1,t)=-βvt(1,t)-γv(1,t),t0,其中t,x代表时间与空间变量,u((x,t),v(x,t)分别代表在时刻t位置x处两根弦的位移,α0为两根弦内部耦合参数,β,γ0为系统边界常值参数.此系统描述的是内部有耦合的并行连接弦的振动行为.通过选择合适的状态空间H,定义系统算子A,运用内积理论证明系统算子是耗散的.进一步利用著名的Lumer-Philips定理证明系统算子A生成C0压缩半群eAt,从而解决了解的存在性问题.对于系统的稳定性问题,常用的Lyapunov方法难以应用.引用著名的Huang定理,通过M = sup{||(A-iω)-1||H| ω ∈R}∞的估计,最终证明系统是指数稳定的.第三章我们考虑如下的耦合的偏微分系统Utt(x,t)-uxx(x,t)=α(v(x,t)-u(x,t)),x ∈(0,1),t0,vtt(x,t)-vxx(x,t)= α(u(x,t)-v(x,t)),x ∈(0,1),t0,u(0,t)= 0,t0,ux(1,t)= U1(t)+ d1(t),t0,v(0,t)= 0,t0,vx(1,t)= U2(t)+ d2(t),t0,0)= u0(x),ut(x,0)= u1(x),x ∈[0,1],v(x,0)= v0(x),vt(x,0)= v1(x),x ∈[0,1],y(t)= {ux(0,t),vx(1,t),u(1,t),v(1,t),ut(1,t),vt(1,t)},其中u和v是状态,U1和U2是输入(控制),y(t)为系统量测输出,α0是一个常数,d1和d2是外界未知扰动.我们考虑的是在有外部扰动的情况下,并联弦方程的边界输出反馈镇定问题.借由文献[7]中提出的方法,我们首先在反馈环节上设计了一个扰动估计来消除外部扰动.输出反馈的另一部分被设计用来稳定整个系统.然后我们利用算子半群和Lyapunov函数方法来证明闭环系统在状态空间只有唯一解,原系统的解是渐进稳定的,以及其中的扰动估计系统是有界的.然后我们给出了数值仿真结果,来辅助验证我们的理论结果.
【学位单位】：山东师范大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O175.2
【部分图文】：

?Ｃ２Ｃ２＾ｊＣ２（ＩＩ／ｉ｜Ｉ２?＋?ＩＩ／２ＩＩ２?＋?ＩＩ?夕?ｉｌｌ２?＋?｜｜仍｜｜２）??ＭｄｌＡｆ?＋?ｌｌ＾ｆ?＋?ｌｌ＾ｌ＾?＋?ｌｌｒｆ）．??Ｆ丨｜ｗ，｜Ｋ｜｜幺｜｜Ｆ｜ｋ其他部分同理可证，故我们得到．１，系统是指数稳定的，证毕．??§２．４彳吴拟结果??中，我们给出了一些数值模拟的结果来展示我们／３，７被设定为（＾?＝?５，／３?＝?２，７＝１．我们使用了有限时间步长和空间步长分别设定为０．０５和０．００５．??件设计为??（２ｃｏｓ３ｘ，４：ｃ２?—?２）丁，１ｉＤｉ０（；ｒ）?＝?（―４ｓｉｎ２ａ：，—（２?＋?３ｃｏｓｒｒ）―３ｓｉｎ４ａ：，?２ａ：３?＋?３）Ｔ，?ｄｔ〇（ｘ）?＝?（—４ａ；２?＋?２，?—２ｘ?—?１）Ｔ，：ｒ２?＋?５?ｓｉｎ?３ｒｒ，２；ｃ?—?１）Ｔ，ｔ＆ｔ〇（；ｒ）?＝?（—?ｓｉｎ?ａ；?—?ｃｏｓ?ｘ，ｘ３）Ｔ以清楚的看到，该耦合系统的解是趋于零的．??

图２親合系统的？；（ｚ，ｆ

图４闭环系统的ｊ部分??图３到５展示了闭环系统（３．４．２）的解．从图３我们可以看到闭环系统的由这一??部分虽然有扰动ｄ?＝（必，办）Ｔ干扰，但是仍然迅速衰减．图４和５我们可以看到闭??环系统的ｉ和必这两部分虽然不是渐进稳定的但是是有界的．图６给出了扰动的??跟踪效果，在ｔ?＝?２０之后，知＊（０，〖）－Ａ（Ｍ）能够很
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本文编号：2854076