次扩散方程的快速算法及理论分析

发布时间：2021-01-14 01:30

　　由于Caputo导数包含历史信息,用传统的数值方法直接计算时间分数阶方程时,需要的存储量和计算量分别为O（MN）和O（MN2）的量级,其中M和N分别表示空间和时间的网格剖分数目。因而在长时间的数值模拟中,其计算量和储存量是巨大的。为了克服这个困难,我们通过使用指数和函数（sum of exponentials）逼近Caputo导数的核函数,得到快速算法。当快速算法应用到求解次扩散方程时,所需要的存储量和计算量分别降为O（MNexp）和O（MNNexp）的量级,其中Nexp为指数函数数量。由于长时间模拟中,Nexp<<N,因此新的数值格式大大提高了计算效率。另一方面,对于反应扩散方程或者非线性扩散方程,它的解不但在初始时刻具有奇异性,而且在远离初始时刻时解可能会增长得很快。为了得到最优时间收敛阶,通常需要在一般非均匀时间网格下进行数值求解,这给理论分析带来极大困难。对反应次扩散问题,利用离散的分数阶Gronwall不等式,我们证明在一般非均匀时间网格下,新的数值格式均是无条件稳定的。通过对全局相容误差的估计,我们对数值格式的收敛性进行了分析。对非线性次扩散问题,我们用牛顿法将... 

【文章来源】：中国工程物理研究院北京市

【文章页数】：51 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

图６．１例６．２?（左）当ａ?＝?０．５，ｒ＝ｌ时，凡２－ｌＣＴ格式在不同时间步长和不同空间下的误差，表明??该格式的无条件稳定性；（右）当《?＝?０．５，／１（１）?＝?／７（２）＝１／１０，７＇＝１时，计算所需的卩１］时间，表??＝－

??这一节的所有表格表明Ｌ２七格式和ＦＬ２七格式的收敛阶均为０（ｒ２?＋?／ｚ２），与前一??章的理论分析结果相同。从图６．１的左图和图６．２的左图，可知／＾２－ｂ格式是无条件??稳定的。从图６．１的右图和图６．２的右图，可知与Ｌ２－ｌ（ｒ格式相比，凡２－１＜＾格式确实??可以节省很多的计算时间。特别地，Ｌ２－１Ｃ格式和／＝１２－１１格式计算所用的ＣＰＵ时间??关于时间步长数／Ｖ在取对数后分别是斜率为２和１的直线。因此我们可以得到结论，??与Ｌ２－Ｕ格式相比，ＦＬ２－Ｌ格式不仅可以达到相同的计算精度，还极大减少了计算??所用的时间和存储空间，这一优势在长时间模拟或者在空间为多维的情况下更加明??显。??６．２非均匀时间网格下ＦＬ１格式对非线性次扩散问题的数值逼近结果??这一节我们给出非均匀时间网格下ＦＬ１格式对Ｃａｐｕｔｏ分数阶非线性次扩散方程求??解的数值算例。我们考虑二维空间变量Ｗ?＝?２，；ｃ?＝?Ｕ（ｌ），ｘ（２））?ｅ?Ｄ?ｃ?Ｒ２）的分数阶Ｆｉｓｈｅｒ??方程??＾ｕ（ｘ，?ｔ）?＝?Ａｕ（ｘ，?／）?＋?ｗ（?１?－?ｕ）?＋?ｇ（ｘ，?／），?ａ：?ｅ?ｒ?ｅ?（０，７＂］，?（６－１）??ｕ（ｘ

例‘.4在a=0.4,y=1(左)和y=3(之


本文编号：2975936