求解一类多项四阶时间分数阶扩散波方程的有限差分方法
发布时间：2021-02-17 06:11
分数阶微分方程是由整数阶微分方程推广得到的.由于全局相关性,它能更好地刻画各种模型的物理过程,因此,分数阶微分方程的理论和数值方法是目前的热点研究课题之一.本文主要研究求解一类多项四阶时间分数阶扩散波方程的有限差分方法.首先,研究求解一类多项四阶时间分数阶慢扩散方程的有限差分方法.应用L1公式逼近时间分数阶导数,用降阶法处理空间四阶导数项,再借助离散能量方法证明所得差分格式是无条件稳定的且在无穷范数下其收敛阶为O(τ2-α2+h2),其中τ和h分别为时间方向和空间方向步长,α2为时间分数阶导数的最大阶数.最后用数值实验验证所提出差分格式的精度和有效性.其次,讨论求解此类多项四阶时间分数阶慢扩散方程的高阶数值算法.先用降阶法,将原方程等价转化为一个低阶方程组,再对相应的离散方程两边作用一个平均算子,应用L1公式逼近时间分数阶导数,空间导数采用紧逼近,建立高阶差分格式.借助离散能量方法,分析所得差分格式在L∞范数下是无条件稳定且收敛阶为O(t2-a2...
【文章来源】：南京邮电大学江苏省
【文章页数】：57 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
方程(2.78)-(2.81)的精确解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56)(右)求得的数值解
图 2.1 方程(2.74)-(2.77)的精确解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56) (右)求得的数值解图 2.2 方程(2.78)-(2.81)的精确解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56) (右)求得的数值解表 2.1 (实验一)当1 2 0.3, 0.5时的最大误差和空间方向收敛阶h格式(2.23)-(2.25) τ 1/10000 格式(2.54)-(2.56) τ 1/200000 2 ,E h
该问题的精确解为 3u x , t t 1 sin x.图 3.2 分别给出四阶时间分数阶波方程(3.70)-(3.73)的精确解，应用差分格式(3.24)-(3.26)以及差分格式(3.54)-(3.56)计算所得的数值解 1 2 1.2, 1.7, M 100, N 100．由图可见，两个差分格式数值解均与精确解非常吻合，进而表明两个差分格式都是有效性的．定义 0, maxn nn NE h U u ．在固定时间步长 充分小时，表 3.1 和表 3.2 分别给出实验三和实验四在不同空间步长下差分格式(3.24)-(3.26)和差分格式(3.54)-(3.56)的计算结果．可以看出，差分格式(3.24)-(3.26)空间方向的收敛阶为二阶，而差分格式(3.54)-(3.56)空间方向可达到四阶收敛．表3.3和表3.4分别测试两个差分格式时间方向的数值收敛阶．当1 2 1.2, 1.7时，时间方向的收敛阶均约为23 1.3；当1 2 1.4, 1.9时，时间方向的收敛阶均约为23 1.1，与理论结果吻合．
【参考文献】：
期刊论文
[1]一维连续函数的Riemann-Liouville分数阶微积分[J]. 梁永顺,苏维宜. 中国科学:数学. 2016(04)
[2]高维分数阶cable方程隐式差分逼近[J]. 马亮亮,刘冬兵. 辽宁工程技术大学学报(自然科学版). 2014(04)
[3]数字图像处理中的偏微分方程方法综述[J]. 丁畅,尹清波,鲁明羽. 计算机科学. 2013(S2)
[4]两类分数阶对流-扩散方程的有限差分方法[J]. 张红玉,崔明荣. 山东大学学报(理学版). 2012(06)
[5]二维分数阶变系数对流-扩散方程的数值解[J]. 刘青霞,刘发旺. 高等学校计算数学学报. 2011(01)
[6]用物理学热传导理论剖析二阶齐次线性偏微分方程的本质[J]. 董丽华. 长春师范学院学报. 2007(04)
博士论文
[1]分数阶滑模控制理论及其应用研究[D]. 邓立为.哈尔滨工业大学 2014
[2]几类分数阶微分方程的数值方法研究[D]. 肖静宇.哈尔滨工业大学 2013
[3]基于偏微分方程的图像分割和肿瘤生物医学建模研究[D]. 张鲁筠.山东大学 2012
硕士论文
[1]两类Caputo型分数阶差分方程的初值问题[D]. 郑金娣.安徽大学 2017
[2]基于分数阶非牛顿流体本构关系的双孔介质波动方程[D]. 熊繁升.中国地质大学(北京) 2016
[3]时间分数阶偏微分方程高阶数值解法[D]. 纪翠翠.东南大学 2015
[4]热量传递的分数阶微分方程模型与数值模拟[D]. 李丹.华北理工大学 2015
[5]加权Bergman空间上Toeplitz算子的零积问题和Mellin变换[D]. 韩丹丹.河北师范大学 2014
本文编号：3037554
【文章来源】：南京邮电大学江苏省
【文章页数】：57 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
方程(2.78)-(2.81)的精确解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56)(右)求得的数值解
图 2.1 方程(2.74)-(2.77)的精确解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56) (右)求得的数值解图 2.2 方程(2.78)-(2.81)的精确解(左)、格式(2.23)-(2.25)(中)和(2.54)-(2.56) (右)求得的数值解表 2.1 (实验一)当1 2 0.3, 0.5时的最大误差和空间方向收敛阶h格式(2.23)-(2.25) τ 1/10000 格式(2.54)-(2.56) τ 1/200000 2 ,E h
该问题的精确解为 3u x , t t 1 sin x.图 3.2 分别给出四阶时间分数阶波方程(3.70)-(3.73)的精确解，应用差分格式(3.24)-(3.26)以及差分格式(3.54)-(3.56)计算所得的数值解 1 2 1.2, 1.7, M 100, N 100．由图可见，两个差分格式数值解均与精确解非常吻合，进而表明两个差分格式都是有效性的．定义 0, maxn nn NE h U u ．在固定时间步长 充分小时，表 3.1 和表 3.2 分别给出实验三和实验四在不同空间步长下差分格式(3.24)-(3.26)和差分格式(3.54)-(3.56)的计算结果．可以看出，差分格式(3.24)-(3.26)空间方向的收敛阶为二阶，而差分格式(3.54)-(3.56)空间方向可达到四阶收敛．表3.3和表3.4分别测试两个差分格式时间方向的数值收敛阶．当1 2 1.2, 1.7时，时间方向的收敛阶均约为23 1.3；当1 2 1.4, 1.9时，时间方向的收敛阶均约为23 1.1，与理论结果吻合．
【参考文献】：
期刊论文
[1]一维连续函数的Riemann-Liouville分数阶微积分[J]. 梁永顺,苏维宜. 中国科学:数学. 2016(04)
[2]高维分数阶cable方程隐式差分逼近[J]. 马亮亮,刘冬兵. 辽宁工程技术大学学报(自然科学版). 2014(04)
[3]数字图像处理中的偏微分方程方法综述[J]. 丁畅,尹清波,鲁明羽. 计算机科学. 2013(S2)
[4]两类分数阶对流-扩散方程的有限差分方法[J]. 张红玉,崔明荣. 山东大学学报(理学版). 2012(06)
[5]二维分数阶变系数对流-扩散方程的数值解[J]. 刘青霞,刘发旺. 高等学校计算数学学报. 2011(01)
[6]用物理学热传导理论剖析二阶齐次线性偏微分方程的本质[J]. 董丽华. 长春师范学院学报. 2007(04)
博士论文
[1]分数阶滑模控制理论及其应用研究[D]. 邓立为.哈尔滨工业大学 2014
[2]几类分数阶微分方程的数值方法研究[D]. 肖静宇.哈尔滨工业大学 2013
[3]基于偏微分方程的图像分割和肿瘤生物医学建模研究[D]. 张鲁筠.山东大学 2012
硕士论文
[1]两类Caputo型分数阶差分方程的初值问题[D]. 郑金娣.安徽大学 2017
[2]基于分数阶非牛顿流体本构关系的双孔介质波动方程[D]. 熊繁升.中国地质大学(北京) 2016
[3]时间分数阶偏微分方程高阶数值解法[D]. 纪翠翠.东南大学 2015
[4]热量传递的分数阶微分方程模型与数值模拟[D]. 李丹.华北理工大学 2015
[5]加权Bergman空间上Toeplitz算子的零积问题和Mellin变换[D]. 韩丹丹.河北师范大学 2014
本文编号：3037554
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