若干连续和离散可积方程的反谱变换

发布时间：2021-03-14 23:57

　　本文利用反谱变换方法研究几个连续和离散可积方程在无穷直线上的相关问题,并给出它们的孤子解.这几个问题包括TD方程的非零边界问题,两分量推广Ragnisco-Tu方程的衰减边值问题以及Tzitzeica方程的零边界问题.反谱变换方法的关键步骤是对非线性可积方程的线性谱问题进行谱分析.本文所研究问题的一个难点在于有的方程所涉及的谱空间为多叶Riemann面,需要先对谱空间进行改造,然后在新的谱空间中,引入与时间无关的线性谱问题的基本矩阵解ψ±（也称Jost函数）,以及散射矩阵S（k）.借助Green函数的相关性质,对新的Jost函数所满足的积分方程进行分析,揭示了Jost函数以及散射矩阵元素的解析性.进而,讨论Jost函数在奇点处的渐近性质.反谱变换的另一个重要步骤是位势的重构,以及显式解的获得.具体来说,通过定义新的分片解析函数,构造Riemann-Hilbert（RH）问题.借助正则化,或Cauchy投影算子,利用散射数据重构位势.然后,在无反射位势条件下,构造可积方程的显式解,包括孤子解.这四个问题的相同点是散射系数的零点均为单阶的.需要强调的是,第二章,第四章,第五章中散射系数的零... 

【文章来源】：郑州大学河南省 211工程院校

【文章页数】：123 页

【学位级别】：博士

【部分图文】：

图２．３：?（２．３．２７）中有理解Ｍ和丨ｖ２｜的参数选取为ｐ?＝?１?？??

第二章?ＴＤ方程的Ｋｕｚｎｅｔｓｏｖ－Ｍａ解和Ａｋｈｍｅｄｉｅｖ呼吸子??的渐近性??％?—?ｅ±２ｉ＇?４?丑⑴＝｛丄，＾〉０，??〇，?ｔ?＜?〇．??然而在（２．３．３１）中，ｓｉｎ（２ｃｊ）?＜?０，?（７ｒ／２?＜?ｗ?＜?７ｒ），??￣＾?ｅ干２心，二２?￣Ｙ?—ｔ），?ｔ?—＾士〇〇？??我们注意到＾和％有相同的渐近性，因此它们可以被看成同宿轨．然而５的??同宿波被破坏了，但是在某种程度上我们通过求微分，可以修正．从这个意义上??来说，我们称（２．３．３１）（或（２．３．３２））中的解为Ａｋｈｍｅｄｉｅｖ呼吸子．Ａｋｈｍｅｄｉｅｖ呼??吸子的典型行为在图２．４和图２．５中给出．我们注意到（２．３．３１）和（２．３．３２）中ｕ的??，ｓ?？??图?２．４：?（２．３．３１）中的?Ａｋｈｍｅｄｉｅｖ?呼吸子，选取参数?ｐ?＝?１，〇；?＝?｜?．??Ｉ亀．Ｉ慧??：－脅?：??图２．５：?（２．３．３２）中的Ａｋｈｍｅｄｉｅｖ呼吸子，选取参数为ｐ＝ｌ，ｗ＝夸．??动力学是一样的，但是沪的孤子解动力学行为却是不同的（见图２．６）．??２４??

?§２．３?无反射位势和孤子解???ｉ?＇?一?Ｋ＇?ａ?Ｊ＾ｌ?ｒ一ｗ＇＇?／?＼?广一ｗ—｜??１?■?ｌ＼?ｌ＼?！＼?ｆ＼?ｉ?Ｍｆ?１／?＼ｉ?＼ｆ?｝ｆ??，；”?／＼?／＼?／＼?／?－＼ｌ?＼ｉ?＼）?ｕ?、ｉ??－■，＼／一一ｖｍ?：／！?ｉ＼?ｉ＼?ｉ＼?ｉ＼??：ｆ?＼?＼ｉ?＼！?Ｉ?Ｊ?＼?Ｉ?＼?Ｉ?＼?＼??－ｉｊ－：?＼ｉ?＼ｉ?ｖ?ｙ?ｖ?．?／?ｖ—．—」ｌ—／?ｖ—．．．??－ｉｓ?＇?＇?＇?＇?＇－＇５＇?＇?＇?ｄ?＇?１?＇?＇?５?＇?＇?＇ｉｂ＇?＇?＇?＇ｉｆ?－ｉｓ１?＇?１?－ｉ〇?＇?＇?Ｊ５＇?１?＇?＇?＾?＇?＇?＇?＇?ｊ?＇?＇?＇?＇１０＇?Ｊ?１?＂１３??ｘ?ｘ??图２＿６：?ｕ２的Ａｋｈｍｅｄｉｅｖ呼吸子，这里ｐ?＝?ｌ，ｔ?＝?１．３和左侧ｕｊ?＝?§，右侧ｗ?＝宇．棕色线－ａｂｓ（？２），红线－??Ｉｍ（ｔ，２）和绿线—Ｒｅ（ｕ２）．??２５??


本文编号：3083187