通过对高斯求和公式的求导得出关于1/π的恒等式

发布时间：2021-04-04 03:24

　　本论文首先利用复函数项级数的理论严格论证了复无穷乘积的相关重要性质和定理。其次根据绝对收敛以及一致收敛的无穷乘积理论严密地给出了Gamma函数的定义并由此推导出了Weierstrass型Gamma函数的定义式还有Euler反射公式。紧接着通过对Weierstrass型Gamma函数的定义式两边取对数导数,我们导出了Digamma函数还有Trigamma函数,之后利用复幂级数和的Abel定理严格证明了Digamma函数的一些重要性质,特别是Gauss公式,并由此得到了很多特殊值。接下来利用复函数项级数的一致收敛性、绝对收敛性以及极限的定义,结合一些代数上的技巧严格证明了经典超几何级数中著名的Gauss求和公式。最后根据Gamma函数的一些性质以及Gauss求和公式,利用渐近分析以及复函数项级数的绝对收敛和一致收敛性定理论证了微分号与求和号的可交换性,通过对高斯求和公式中参数a的求导得到一些新的级数恒等式。之后进行相应的参数变换,并利用Euler反射公式得到四个参数的级数展开式,最终根据这些公式还有之前通过Gauss公式求得的那些特殊值,得出关于1/π的级数恒等式。 

【文章来源】：华东师范大学上海市 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：56 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
中文摘要
英文摘要
1 引言
    1.1 研究的背景和意义
    1.2 研究现状
    1.3 我的主要结果
2 Gamma函数
    2.1 Gamma函数定义的由来以及推导过程
    2.2 Gamma函数的重要性质
    2.3 Digamma函数及其重要性质
3 Gauss求和公式
4 我的主要结果之定理1.1的证明
5 我的主要结果之定理1.2,1.3及其推论的证明
    5.1 定理1.2的证明
    5.2 定理1.3的证明
    5.3 定理1.3的推论的证明
6 我的主要结果之定理1.8,1.9及其推论的证明
    6.1 定理1.8的证明
    6.2 定理1.9的证明
    6.3 定理1.9的推论的证明
参考文献
致谢



本文编号：3117639