单纯复形上的一些分析

发布时间：2021-04-11 01:20

　　本文主要研究了单纯复形的Hodge-Laplacian算子的热核估计、量子随机游走和无符号1-Laplacian算子的一些几何性质.1945年,B.Eckmann把图上的Laplacian算子推至单纯复形,给出了单纯复形的Hodge-Laplacian算子的定义,并证明了离散形式的Hodge定理.本文研究了Hodge-Laplacian算子的热核估计,证明了单纯复形的Davies-Gaffney-Grigor’yan引理.量子随机游走是谱分析和谱几何中的重要研究对象,也是构造量子算法的重要工具.对应于经典随机游走的中心极限定理,N.Konno证明了直线上量子游走的弱极限定理,与经典随机游走的概率分布在一点处取得最大值不同,量子游走的Konno分布在1和-1两处达到高峰.本文利用代数拓扑的工具给出单纯复形上量子随机游走的一种定义,该定义与单纯复形的Hodge-Laplacian算子有着密切的联系.我们刻画了其相应的判别算子的谱与单纯复形的几何拓扑的关系,并探讨了量子随机游走的转移概率和稳定测度.图的1-Laplacian算子始于M.Hein,T.Buhler和K.C.Chang的研究.本... 

【文章来源】：湖南大学湖南省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：89 页

【学位级别】：博士

【部分图文】：

图３．１三角形??

事实上，如果Ｔｌ５ｒ２?Ｇ?是９＋１－下邻接，那么它们也是ｑ－１－下邻接．??我们通过一个简单的例子来具体说明上部图和下部图是如何构造的．比如??图３．１中的２维单纯复形：考虑１维单纯形的上部图和下部图．??〇??▲??图３．１三角形??令ｎ?＝?（０１），ｆＴ＝?（１０），ｒ２?＝?（０２）万＝（２０），ｒ３?＝?（１２），石＝（２１），这个例子中，??１维单纯形的上部图和下部图是一样的，都如图３．２所示．??下面我们定义上部和下部图上的Ｇｒｏｖｅｒ游走．在定义上部和下部Ｇ?ｒｏｗｉ？游走??之前，我们先进一步了解一下符号函数的相关性质．??假设［Ｔｉ］．［ｒ２］?ｅ?４是ｑ＋１－上邻接．那么存在唯一一个丨（Ｔ９＋１（Ｌ?￡?５＾＋１使??得［ｎ］?Ｃ?［Ｏｇ＋１（ｒ〗，Ｔ２）］并且［Ｔ２］?ｃ?［（７ｇ＋ｌ（Ｔｌ，ｒ２）］？尽管ｈ＋Ｈｍ）］有两个定向，我??们有??ｓｇｎ（ｃｒ９＋１（ｒｉ，?ｒ２），?ｎ）?ｓｇｉ＾＾＋＾ｒ！，?ｒ２），?ｒ２）?＝?ｓｇｎ（ｃｒｇ＋ｉ（ｒ］，ｒ２），?ｎ）?ｓｇｎ（ｆｒｇ＋１（ｒｉ，?ｒ２），?ｒ２）．??（３－Ｇ）??２９??

图３．３有限圆柱??３．５．１有限圆柱??对于有限的圆柱体有如图３．３所示的三角剖分时，考虑其二维的下部Ｇｒｏｖｅｒ游??走，那么的特征值关于原点对称．??如果降丨＝２ｍ，即该三角剖分中含有２ｍ个二维面．根据［９］中的定理４．３，??的特征值集合等于??｛—ｃｏｓ（—）＼ｊ?＝?０，１，２ｍ?—?１｝?Ｕ?｛０｝．??其中０相应的特征函数空间是事实上，其相应的下部图是二部图．可以??发现在图３．３中有两种三角形，我们分别称之为上部和下部三角形，如图３．４．我们??ｕｐ?ｔｒｉａｎｇｌｅ??图３．４上部和下部三角??可以将所有的二维面分成两部分：％包含所有的上部三角形，％包含所有的下部??三角形．??为了完整性，我们给出该例中具体的计算．在计算中．将主要用到下面的引理，??见［６８］．??引理３．５．２．丨６８１对于任何两个矩阵乂和尸


本文编号：3130681