带分数阶拉普拉斯算子的Caputo型发展方程的有限元方法

发布时间：2021-07-26 21:34

　　物理上分数阶拉普拉斯算子被称为分数阶扩散通量,用于刻画列维飞行下粒子长距跳跃的反常扩散过程,它已经成为近十年来分数阶偏微分方程的研究热点.目前关于这类算子的数值方法有两个重要挑战:处理超奇异核和求解无界区域下的积分.因此本文主要研究如下几个方面的课题:1.对分数阶拉普拉斯算子采用Caffarelli-Silvestre延拓技巧,将非局部问题局部化,构造有限元格式并考虑相应的稳定性和误差估计;2.针对主值积分采用相应的Hadamard有限部分积分,构造有限元格式并分析求解.本文主要围绕带分数阶拉普拉斯算子的Caputo型发展方程的有限元方法展开研究,主要分为以下几个部分:第一章通过一维变量下随机游走扩散模型直观地描述微观粒子运动过程,体现了分数阶拉普拉斯算子的物理意义,导出柯西主值分数阶拉普拉斯算子的数学定义.第二章首先介绍Caffarelli-Silvestre延拓思想,其次介绍第二类修正B essel函数的相关性质,最后分析了延拓技巧下解的衰减性.第三章对分数阶拉普拉斯算子采用延拓技巧,时间离散采用Diethelm方法,考虑加权椭圆投影算子的误差估计,构造有限元全离散格式并分析了有限... 

【文章来源】：上海大学上海市 211工程院校

【文章页数】：83 页

【学位级别】：博士

【部分图文】：

图１．１每条彩线代表一只海鸟（ａ）西西里岛利诺萨岛海鸟捕食路线（ｂ）亚得里亚海特??雷米蒂群岛海鸟捕食路线．??

：：零?Ｉ??等??图１．１每条彩线代表一只海鸟（ａ）西西里岛利诺萨岛海鸟捕食路线（ｂ）亚得里亚海特??雷米蒂群岛海鸟捕食路线．??左跳跃的概率是１－４考虑ｎ步跳跃后，两列粒子群跳跃运动后所在的：ｔ轴位置??ｎ＋１??为々＝（丨－?－）Ａｘ，?／?＝?０，?±１，土２，…，且第ｚ？个节点的粒子数为ｍ丨（ｎ），显然土?ｍｉ（ｎ）?＝?２Ｎｐ．??为了量化粒子的运动状态，定义Ｗｚ．（／〇?＝?＾，显然这样的定义是满质量守恒的，??ｎ＋ｌ?ｎ＋１??即；￡?？加）＝１．因此很自然地刻画ｎ步跳跃后粒子分布的期望为３＾ｉ）＝?Ｅ?％Ｍｉ（ｎ），方??ｉ＝－ｎ?ｉ＝—ｎ??ｎ＋ｌ??差为ｓＯ）?＝?２?－?无（”））２沟Ｗ．??ｉ＝－ｎ??首先考虑粒子任意时间Ａｒ内每次仅能跳跃一个步长Ａ；ｃ的距离，令也就是??说粒子向左向右的跳跃概率相同为Ｌ如下图１．２所示，??＾?Ｑ?＾?Ａ?＾??图１．２粒子向左向右Ａｒ时间内仅跳跃Ａｘ距离．??一步跳跃后，在第汁位置的粒子数的前后两个时亥！Ｊ变化满足??？ｊ（ｎ?＋?１）?＝?＾ｕ；＿ｉ（ｎ）?＋?＾ｕ／＋ｉ（ｎ）

?（Ｌ１）??其中ｐ?ｉ?．菩为爱因斯坦扩散系数，显然（１．１）式为经典的一维扩散模型Ｗ?＝?Ｍｍ的离??散形式．图１．３分别给出了实验测量下的正常扩散现象与（１．１）式的数值仿真，可以看到??粒子的扩散满足高斯分布．??图１．４粒子向左向右Ａｒ时间内可跳跃任意距离．??然而粒子的活力使得粒子在单位时间间隔心内并不仅仅每次只跳跃一个步??长／＾的距离．如图１．４，记粒子向左向右跳跃任意６认＝０，±１，±２，．．．）区间的步长；＾；＾的??概率符合幂

【参考文献】：
博士论文
[1]二维分数阶超扩散方程和非局部方程的数值算法[D]. 陈安.上海大学 2016
[2]三类分数阶偏微分方程的有限元计算[D]. 赵振刚.上海大学 2011
[3]分数阶微分方程的有限元算法[D]. 郑云英.上海大学 2011
[4]分数阶微分方程的理论分析与数值计算[D]. 邓伟华.上海大学 2007



本文编号：3304399