一类可积方程族的Hamilton结构及其代数几何解

发布时间：2021-10-06 15:48

　　近年来,孤子方程的可积性研究成为非线性科学的研究热点,并广泛应用于生物学、量子力学、流体力学等诸多领域,而孤子方程的求解也成为国内外科学家的研究重点.其中,代数几何解方法可以深刻的描述许多物理现象,具有重要的潜在应用价值.本文主要研究连续孤子方程的可积性,并求其代数几何解.第一章,简单叙述孤子理论的产生及发展史、可积系统的可积性研究方法、孤子解的构造方法及其应用.第二章,主要介绍代数几何解方法的基础知识,主要包括:Riemann曲面、亏格、Abel微分形式等.第三章,根据李代数构造一组新的连续谱算子,利用零曲率方程得到可积系统的孤子方程族,然后利用迹恒等式,获得其相应的Hamilton结构.第四章,在第三章的基础上,定义一条亏格为N的超椭圆曲线κN,并紧致化产生Riemann面.借助椭圆变量和亚纯函数,引入椭圆坐标,构造Abel微分.通过研究Abel微分和Baker-Akhiezer函数与亚纯函数的渐近性质,最终利用代数几何的方法得到方程族的位势的显式Riemann θ函数表示. 

【文章来源】：山东科技大学山东省

【文章页数】：55 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
摘要
Abstract
1 绪论
    1.1 孤立子理论的产生及其发展
    1.2 孤立子理论研究概述及应用
    1.3 本文主要工作
2 代数几何解的基本概念
    2.1 Riemann曲面
    2.2 Riemann曲面上的亏格
    2.3 Abel微分形式
3 一个连续孤子方程的可积性研究
    3.1 可积的孤立子方程
    3.2 可积方程的Hamilton结构
4 孤子方程的代数几何解
    4.1 椭圆变量的演化
    4.2 Baker-Akhiezer函数
    4.3 流的拉直
总结与展望
参考文献
致谢
硕士阶段的主要成果


【参考文献】：
期刊论文
[1]Algebro-Geometric Solutions with Characteristics of a Nonlinear Partial Differential Equation with Three-Potential Functions[J]. 张玉峰,冯滨鲁,芮文娟,张祥芝.  Communications in Theoretical Physics. 2015(07)
[2]广义耦合非线性薛定谔方程中的达布变换和多孤子解[J]. 林机,郭帮兴.  浙江师范大学学报(自然科学版). 2015(02)
[3]A HIERARCHY OF LIOUVILLE INTEGRABLE FINITE-DIMENSIONAL HAMILTONIAN SYSTEMS[J]. 马文秀.  Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）. 1992(04)

博士论文
[1]分数阶可积耦合、离散混沌及代数几何解的研究[D]. 岳超.上海大学 2015

硕士论文
[1]两个连续孤子方程的代数几何解[D]. 孙玉娟.大连理工大学 2012
[2]孤立子理论与非线性发展方程的精确解[D]. 周钰谦.四川师范大学 2004



本文编号：3420312