关于复Monge-Ampère方程的若干研究

发布时间：2023-04-02 15:25

　　本文主要研究复Monge-Ampere方程解的正则性估计以及相关的Liouville型定理.第二章中,我们介绍了与复Monge-Ampere方程相关的一些基本概念和结果.第三章中,我们考虑Cn中球上的Dirichlet问题.我们根据右端项和边值的Holder连续性(C0,α连续或者C1,α,连续),分别给出了解及其一阶偏导数的Holder模内估计.这推广了 Bedford和Taylor的C1,1内估计.第四章中,在解自身C1，β(β适当接近于1)连续和右端项为正且Cα连续性的条件下,我们给出了解的局部C2,α模估计.与已有的结果相比,解的正则性假设条件减弱了.第五章中,我们考虑Ricci曲率非负的紧致Kahler流形与复欧氏空间的乘积流形.证明了满足复Monge-Ampere方程和适当条件的Kahler形式必定关于某个乘积度量平行.第六章中,我们将第三和第四章中的结果推广到了一般Hermite流形的情形.

【文章页数】：79 页

【学位级别】：博士

【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第一章 引言
第二章 预备知识
    2.1 复Monge-Ampère方程研究的一些经典结果
        2.1.1 Cⁿ中区域以及Kahler流形上的复Monge-Ampère方程
        2.1.2 复Monge-Ampère方程弱解的定义
        2.1.3 球上复Monge-Ampère方程Dirichlet问题解的一些经典结果
        2.1.4 紧Kahler流形上复Monge-Ampère方程解的一些估计
    2.2 函数的Holder模
        2.2.1 函数的Holder模及记号
        2.2.2 函数卷积光滑化后的Holder模估计
    2.3 一些重要的估计
        2.3.1 关于二阶线性椭圆偏微分方程的几个经典估计
        2.3.2 关于复Monge-Ampère方程的几个经典估计
第三章 球上的复Monge-Ampère方程解及其一阶偏导数的Holder模内估计
    3.1 解的Holder模内估计
    3.2 解的一阶偏导数的Holder模内估计
第四章 复Monge-Ampère方程解的二阶偏导数的Holder估计
    4.1 主要结果
    4.2 依赖于C^1,β模的C^1,1估计
        4.2.1 主要定理及关键引理
        4.2.2 断言4.2.2的证明
    4.3 一些进一步的讨论
第五章 关于复Monge-Ampère方程的Liouville型定理
    5.1 主要结果
    5.2 次调和的Hermite矩阵值函数的平均值定理
    5.3 关于乘积流形上复Monge-Ampère的一个Liouville定理
    5.4 完备Kahler流形上复Monge-Ampère方程的Liouville定理
第六章 Hermite流形上复Monge-Ampère方程的一些估计
    6.1 预备知识
        6.1.1 Hermite流形上关于度量的多重次调和函数
        6.1.2 球上Dirichlet问题解的存在性结果
    6.2 解及其导数的一些Holder模估计
        6.2.1 球上Dirichlet问题解及其一阶偏导数的Holder模内估计
        6.2.2 解的局部C^2,α模估计
参考文献
致谢
在读期间发表的学术论文与取得的研究成果



本文编号：3779467