时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析

发布时间：2017-08-16 19:04

  本文关键词：时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析

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【摘要】：时滞微分方程一种十分常见且与日常生活密切相关的动力系统。研究时滞微分方程对我们能更好地发展社会有非常重要的作用。在近年来,时滞微分方程已经是研究者研究的一个重要课题,同时越来越多的学者开始关注时滞微分方程这一领域。非线性微分方程,存在着由非线性产生的不稳定性问题,使得微分方程的动力学特性具有复杂的运动方式。考虑到系统反映滞后由此而引入的时滞,进一步使得微分方程的研究越来越复杂。有时候考虑到不同因数的影响还要给系统加入效应方程,这样系统将更加复杂,进而需要探究带有时滞和效应方程的一些新的适合系统的理论方法,去分析它的稳定性、分岔、分岔周期方向等动力学性质。因此,在理论研究上与常微分方程相比带时滞微分方程具有更大的难度。本文首先对带有两个时滞的系统进行分析。描述新系统与原系统的区别,计算得到非负平衡点存在的条件,结合雅克比矩阵的特征方程的知识讨论其非负平衡点的局部渐近稳定性和不稳定性,求证Hopf分岔的存在性,并结合数学计算推导出Hopf分岔点。根据中心流形定理和规范性理论,将二者进行结合可进一步求出Hopf分岔的方向、运动轨道的周期和周期随时滞的变化性。要对上面求解,首先要利用泰勒公式展开式将描述的系统展开,从而得到线性部分和非线性部分的相关系数表达式。其次是运用相关知识对决定Hopf分岔的方向、运动轨道的周期的表达式进行求解,对时滞系统在满足推出的条件下进行数值仿真。根据仿真所得到系统的时间历程图和相图我们可以观察到,在不同条件下参数变化改变了系统的运动特性。当时滞不断增大时系统的平衡点渐近稳定性转化为不稳定,并在某一点发生了Hopf分岔。结合所推出的理论说明时滞能改变微分方程的动力学特性。接着,在原系统基础上给其加入时滞,是第二个时滞微分方程。利用相同的理论方法,讨论平衡点的稳定性和Hopf分岔,及求出分岔点,利用泰勒公式展开式、中心流形定理和规范化理论可以得到分岔点的Hopf分岔的方向、运动轨道的周期和周期随时滞的变化性。最后,将原系统进行变化,给其多加入一个时滞。我们得到新的系统,这就是下面要分析的第三个动力系统模型。利用基本相同的研究方法和引理,讨论其平衡点的稳定性和正平衡点Hopf分岔的存在性,并确定分岔点的参数值。利用泰勒公式、中心流形定理和规范化理论,可以得到分支点的Hopf分岔的方向、运动轨道的周期和周期随时滞的变换性。
【关键词】：时滞 稳定性 Hop分岔 周期解
【学位授予单位】：兰州交通大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-10
• 1 绪论10-13
• 1.1 研究意义10-11
• 1.2 研究情况11-12
• 1.3 本文主要内容12-13
• 2 基础知识13-17
• 2.1 方程的根13-14
• 2.2 稳定性判定14-16
• 2.3 分岔定义16
• 2.4 时间历程图和相图16-17
• 3 双时滞微分方程分析17-35
• 3.1 修正方程17-18
• 3.2 平衡点存在性18
• 3.3 平衡点稳定性18-23
• 3.4 正平衡点Hopf分岔性质23-32
• 3.5 数值仿真32-35
• 4 带比率反应函数的时滞微分方程分析35-66
• 4.1 修正方程35-36
• 4.2 解有界36-37
• 4.3 平衡点存在性37-43
• 4.4 平衡点稳定性43-54
• 4.5 正平衡点Hopf分岔性质54-63
• 4.6 数值仿真63-66
• 5 Leslie-Gower型时滞微分方程分析66-86
• 5.1 修正方程66-67
• 5.2 解的正性67
• 5.3 解有界67-68
• 5.4 平衡点存在性68-69
• 5.5 平衡点稳定性69-76
• 5.6 正平衡点Hopf分岔性质76-83
• 5.7 数值仿真83-86
• 结论86-87
• 参考文献87-90
• 致谢90-91
• 攻读学位期间的研究成果91

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前2条

1 刘爽;刘彬;张业宽;闻岩;;一类时滞非线性相对转动系统的Hopf分岔与周期解的稳定性[J];物理学报;2010年01期

2 CHUNG Kwok Wai;;A perturbation-incremental scheme for studying Hopf bifurcation in delayed differential systems[J];Science in China(Series E:Technological Sciences);2009年03期

中国博士学位论文全文数据库 前4条

1 王晶囡;具有离散和分布时滞的几类生物模型的分支问题研究[D];哈尔滨工业大学;2013年

2 李道华;几类不确定动力系统问题的研究[D];哈尔滨工业大学;2013年

3 万阿英;几类时滞动力系统的分支分析[D];哈尔滨工业大学;2009年

4 张若军;时滞动力系统的某些动力学行为研究[D];中国海洋大学;2009年

中国硕士学位论文全文数据库 前1条

1 姚超;具有时滞的经济动力学模型的分支分析[D];哈尔滨工业大学;2014年

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本文编号：684963