分数阶传染病模型的定性分析

发布时间：2017-08-18 10:29

  本文关键词：分数阶传染病模型的定性分析

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【摘要】：传染病是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病.传染病不仅会危害人类的身体健康,甚至会给国计民生带来巨大灾难.数学模型在理解传感染动力学中起着功不可灭的作用.通过对模型的动力学性态定性分析,分析疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测发展趋势,为人们防治决策提供数量依据和理论基础.因此,对传染病模型的动力学研究具有十分重要的意义.本文在分析和总结仓室传染病模型和复杂网络上的传染病模型研究现状的基础上,利用分数阶微分方程稳定性理论,分别对上述两类分数阶模型的动力学行为进行研究.本文组织如下:第一章概述传染病动力学系统的研究意义、现状及进展,并且阐述本文的主要内容和创新点.第二章建立一类具有时滞的分数阶SIS模型,研究该系统的稳定性和分岔问题.首先,利用第二代生成矩阵的方法给出基本再生数R_0的表达式.其次,选取时滞τ为分岔参数,通过特征根方法讨论了平衡点的局部稳定性和分岔问题.证明了当R_01时,无病平衡点是全时滞渐近稳定的.当R_01且τ(?)[0,τ_0)时,地方病平衡点是局部渐近稳定的;而当R_01且ττ0时,地方病平衡点不稳定.最后,数值模拟验证了理论分析的正确性.第三章研究一类具有免疫接种的分数阶HIV模型,分析疫苗对系统后向分支的影响.首先,选取疫苗的有效性σ和疫苗的用量ξ为后向分支参数,讨论系统后向分支问题,并给出控制疾病消除新的阈值.其次,根据Lyapunov稳定性理论和LaSalle不变性原理得到了当基本再生数R_01时,系统的无病平衡点是全局稳定的,疾病消灭.最后,通过数值模拟,验证了结论的正确性.第四章讨论一类复杂网络上具有出生和死亡率的分数阶SIR模型,得到能够决定疾病是否爆发阈值R_0的表达式.运用Lyapunov函数方法和La Salle不变性原理证明了:当R_01时,系统的无病平衡点是全局稳定的,疾病最终灭亡;当R_01且矩阵不可约时,系统的地方病平衡点是全局稳定的,疾病持久存在,形成地方病.最后,数值模拟验证了理论分析的正确性.第五章总结全文,并对今后的工作进行展望.
【关键词】：SIS模型 分数阶 时滞 HIV模型 后向分支 稳定性 基本再生数 复杂网络
【学位授予单位】：南京航空航天大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-10
• 注释表10-11
• 第一章 绪论11-18
• 1.1 研究背景及研究意义11-12
• 1.1.1 传染病的研究背景及研究意义11-12
• 1.1.2 分数阶微积分的研究背景及研究意义12
• 1.2 时滞仓室传染病模型的研究现状12-13
• 1.3 仓室传染病模型后向分支的研究现状13-14
• 1.4 复杂网络上的传染病模型的研究现状14-15
• 1.5 本文的主要内容和创新点15-18
• 1.5.1 本文的主要内容15-16
• 1.5.2 创新点16-18
• 第二章 具有时滞的分数阶SIS模型的动力学分析18-32
• 2.1 模型描述18-19
• 2.2 准备19-20
• 2.3 平衡点的稳定性和分岔20-24
• 2.3.1 平衡点及基本再生数20
• 2.3.2 无病平衡点的稳定性分析20-22
• 2.3.3 地方病平衡点的稳定性分析22-24
• 2.4 数值仿真与讨论24-31
• 2.5 本章小结31-32
• 第三章 一类具有免疫接种的分数阶HIV模型的动力学分析32-48
• 3.1 模型描述32-33
• 3.2 解的存在唯一性33-35
• 3.3 平衡点及其稳定性35-42
• 3.3.1 系统(3.1.1)的后向分支分析35-36
• 3.3.2 无病平衡点的局部稳定性36-37
• 3.3.3 地方病平衡点的存在性及稳定性分析37-41
• 3.3.4 无病平衡点的全局稳定性41-42
• 3.4 数值举例42-47
• 3.4.1 疫苗的有效性σ对系统的动力学行为的影响43-45
• 3.4.2 疫苗的用量ζ对系统的动力学行为的影响45-46
• 3.4.3 比较和讨论46-47
• 3.5 本章小结47-48
• 第四章 复杂网络上具有出生和死亡率的分数阶SIR模型的动力学48-67
• 4.1 模型描述48-49
• 4.2 平衡点及基本再生数49-50
• 4.3 平衡点的稳定性分析50-57
• 4.3.1 无病平衡点的稳定性分析51-53
• 4.3.2 地方病平衡点的稳定性分析53-57
• 4.4 免疫策略的有效性57-59
• 4.4.1 比例免疫57-58
• 4.4.2 目标免疫58-59
• 4.5 数值仿真59-66
• 4.5.1 系统(4.1.4)的局部动态性质59-62
• 4.5.2 系统(4.1.4)的全局动态性质62-65
• 4.5.3 系统(4.1.4)的阶数α对疾病传染、控制的影响65-66
• 4.6 本章小结66-67
• 第五章 总结与展望67-69
• 5.1 总结67
• 5.2 展望67-69
• 参考文献69-74
• 致谢74-75
• 在硕士期间发表的学术论文75

【参考文献】

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本文编号：694092