几类分数阶微分方程奇异边值问题及其应用

发布时间：2017-08-28 00:08

  本文关键词：几类分数阶微分方程奇异边值问题及其应用

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【摘要】：奇异边值问题产生于二十世纪二十年代,源于物理学家为确定原子电动势而提出的二阶奇异常微分方程边值问题的模型,对于此类带有奇异性的方程的研究方法较为独特,渐渐形成独立的研究方向.带有奇异性的微分方程边值问题在自然科学的众多领域具有极为广泛的应用背景,例如,电导体模型、电动势理论、圆形膜理论等.分数阶模型相对于整数阶模型而言自由度更高,即用分数阶模型所描述的问题更加准确.从近年研究者在数学、物理、控制理论、混沌与湍流、生物与医学等领域里取得的丰硕的研究成果中可以看出,分数阶微分方程边值问题作为一门崭新的课题,已然成为国际上微分方程理论研究的热点之一.有人称分数阶微积分为二十一世纪的微积分.非线性泛函分析理论是现当代研究微分方程边值问题的主要手段和重要依据.由此理论导出的一系列不动点定理,对于微分方程边值问题解的存在性、多重性、唯一性等的判断意义重大.方程中非线性项性态的不同、边界条件形式上的差异以及研究侧重点的不同等都影响着研究解的相关属性时所采用的方法.对于带有奇异性的边值问题而言,除了考虑上述问题之外,还要求研究者采取合理的方法取消奇异性,将复杂问题简单化,这个过程本身就增加了研究奇异性问题的理论价值.因此,加上奇异微分方程边值问题广泛的实际应用背景,研究分数阶奇异微分方程边值问题具有重要理论意义的同时也具有广泛的实用价值.本文主要研究几类奇异分数阶微分方程边值问题解的存在性、唯一性和多重性,通过深入研究,在更加一般的条件下获得了一些有趣的结果,给出实际应用中分数阶微分方程奇异边值问题解的存在性、唯一性及多重性的几个充分条件.部分结果已在《Computers and Mathematics with Applications》、《Boundary Value Problems》等杂志发表并被SCI收录.本文共分六章.主要研究了四类问题.第二章研究了一类带有非线性边值条件的分数阶微分方程边值问题,此类问题是将常微分方程的研究工作向分数阶的推广,边值条件更加广泛,包含了Dirichlet边值条件、积分边值条件、多点边值条件等,通过锥拉伸压缩不动点定理得到其正解存在的若干充分条件;第三章在第二章的研究基础上,在方程中引入奇异性,通过构造逼近序列取消奇异性,利用Gatica-Oliker-Waltman不动点定理得到正解存在的充分条件,此类方法用于分数阶微分方程边值问题解的存在性的研究并不多见;第四章研究了一类实际应用模型,Thomas-Fermi模型,这是一类含参数的奇异边值问题,采用Guo-Krasnosel’skii不动点定理通过判断参数取值范围,得到方程解是否存在及存在多解的几个充分条件;第五章研究了一类奇异微分系统正解的存在性,该系统具有广泛的实际应用,例如,建立耦合的电路模型、AIDS模型等,利用Leray-Schauder非线性抉择定理等得到系统正解存在的若干充分条件.
【关键词】：分数阶微分方程 边值问题 不动点定理 Green函数 奇异性 正解
【学位授予单位】：济南大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.8
【目录】：

• 摘要6-8
• Abstract8-10
• 第一章 绪论10-18
• 1.1 微分方程的发展历史10-11
• 1.2 分数阶微分方程的特点11-12
• 1.3 分数阶微分方程边值问题的研究动态12-18
• 第二章 带有非线性边值条件的分数阶微分方程边值问题正解的存在性18-34
• 2.1 预备知识19-23
• 2.2 主要结果23-31
• 2.3 本章小结31-34
• 第三章 带有非线性边值条件的奇异分数阶微分方程边值问题正解的存在性34-46
• 3.1 预备知识35-40
• 3.2 主要结果40-44
• 3.3 本章小结44-46
• 第四章 分数阶广义Thomas-Fermi方程边值问题正解的存在性46-62
• 4.1 预备知识47-51
• 4.2 存在性结果51-59
• 4.3 多重正解的存在性结果59-61
• 4.4 本章小结61-62
• 第五章 奇异分数阶微分系统边值问题的正解的存在性62-74
• 5.1 预备知识62-63
• 5.2 系统正解的存在性结果63-72
• 5.3 本章小结72-74
• 第六章 结论与展望74-76
• 6.1 总结74-75
• 6.2 展望75-76
• 参考文献76-82
• 致谢82-84
• 附录84-86

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本文编号：746425