误差校正和指数随机Runge-Kutta方法

发布时间：2017-09-01 20:05

  本文关键词：误差校正和指数随机Runge-Kutta方法

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【摘要】：随机微分方程作为数学领域一个极为重要的研究方向,在生产生活中占有举足轻重的地位。由于随机微分方程自身的复杂性,通常难以获得其真解,因而对其进行数值求解就显得尤为重要。尽管随机微分方程的显式数值方法形式简单、计算效率高,但是现有的绝大多数显式数值方法稳定性差,不能很好的求解刚性随机微分方程。本文讨论了两类基于显式随机Runge-Kutta方法进行改进的显式数值方法。这两类数值方法不但保持了原随机Runge-Kutta方法均方1阶收敛的良好收敛性,而且克服原随机Runge-Kutta方法稳定性差的缺陷,表现出了良好的稳定性。第一类数值方法是在随机Runge-Kutta方法基础上,添加误差校正项来实现的,称为误差校正随机Runge-Kutta方法(ECSRK方法)。本文进一步证明了该数值方法的均方收敛阶为1.此外,将ECSRK方法应用到线性检验方程,分析了该数值方法的均方稳定性和渐近稳定性,分别给出了均方稳定和渐进稳定的条件,描绘出其稳定区域,并与原随机Runge-Kutta方法进行了比较。研究结果表明,误差校正随机Runge-Kutta方法的均方稳定性和渐进稳定性都远优于原随机Runge-Kutta方法。将求解常微分方程的指数Runge-Kutta方法的思想推广到求解随机微分方程中,得到了第二类数值方法——指数随机Runge-Kutta方法。本文应用It?公式将随机微分方程的真解展开,分析了指数随机Runge-Kutta方法的误差余项,证明了该方法是均方1阶收敛的。在稳定性方面,指数随机Runge-Kutta方法是无条件均方稳定的,即对任意给定步长h?0,指数随机Runge-Kutta方法都是均方稳定的。并且,指数随机Runge-Kutta方法的渐近稳定区域也远远大于原随机Runge-Kutta方法。此外,本文的大多数的理论结果和结论都有相应的数值算例支持。
【关键词】：误差校正随机Runge-Kutta方法 指数随机Runge-Kutta方法 均方收敛性 均方稳定性 渐近稳定性
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.8
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-9
• 第1章 绪论9-16
• 1.1 随机微分方程背景9-10
• 1.2 国内外研究现状及分析10-14
• 1.2.1 随机微分方程数值方法的收敛性10-12
• 1.2.2 随机微分方程数值方法的稳定性12-14
• 1.3 本文的主要研究内容14-16
• 第2章 预备知识16-23
• 2.1 引言16
• 2.2 概率和随机过程基础知识16-17
• 2.2.1 基本定义16-17
• 2.2.2 定理和性质17
• 2.3 随机微分方程基本概念17-21
• 2.3.1 解的存在唯一性18
• 2.3.2 平凡解的稳定性18-19
• 2.3.3 It?公式和It?-Taylor展开19-21
• 2.4 随机微分方程数值解21-22
• 2.5 本章小结22-23
• 第3章 误差校正随机Runge-Kutta方法的收敛性和稳定性23-37
• 3.1 引言23
• 3.2 误差校正随机Runge-Kutta方法（ECSRK）23-24
• 3.3 ECSRK方法的均方收敛性24-28
• 3.4 ECSRK方法的渐近稳定性28-33
• 3.4.1 ECSRK方法的均方稳定性28-31
• 3.4.2 ECSRK方法的渐近稳定性31-33
• 3.5 数值算例33-36
• 3.6 本章小结36-37
• 第4章 指数随机Runge-Kutta方法的收敛性和稳定性37-48
• 4.1 引言37
• 4.2 指数随机Runge-Kutta方法37
• 4.3 均方收敛性分析37-42
• 4.4 稳定性分析42-44
• 4.4.1 均方稳定性42-43
• 4.4.2 渐近稳定性43-44
• 4.5 数值算例44-47
• 4.6 本章小结47-48
• 结论48-49
• 参考文献49-54
• 致谢54

【参考文献】

中国博士学位论文全文数据库 前1条

1 王小捷;随机微分方程数值算法研究[D];中南大学;2012年

中国硕士学位论文全文数据库 前2条

1 周雪;随机延迟微分方程指数Euler方法的收敛性和稳定性[D];哈尔滨工业大学;2012年

2 周超杰;求解随机微分方程两类数值方法的收敛性[D];哈尔滨工业大学;2014年

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本文编号：774121