双边空间分数阶对流扩散方程的几种数值解法

发布时间：2017-09-03 11:31

  本文关键词：双边空间分数阶对流扩散方程的几种数值解法

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【摘要】：分数阶微分方程是从实际问题中抽象出来的一类微分方程.与整数阶相比,分数阶微分方程最重要的优势在于它能更好地模拟某些自然物理现象和动态系统过程,因此在物理、工程、金融、地下水和环境问题中得到了广泛应用.但是,分数阶微分方程的求解方法不及整数阶微分方程那样完善,还没有比较系统的求解公式,目前对它的研究还处于初级阶段.和整数阶微分方程的情况一样,只有很少类型的分数阶微分方程能够求出解析解.大多数情况下,只能使用数值方法来进行计算.因此,对分数阶微分方程进行数值求解有着十分重要的意义.本文主要研究一维的双边空间分数阶对流扩散方程的数值解法.文中的分数阶导数均指Riemann-Liouville定义下的分数阶导数.主要工作如下：第一章,给出了分数阶微积分的历史简介、分数阶微分方程的研究意义以及分数阶微分方程数值解法的国内外研究现状.第二章,给出了一些预备知识,包括分数阶导数、Toeplitz矩阵与循环矩阵以及相关定理.第三章,研究了一维的双边空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法.结合一些学者所提出的有限差分法的思想,构造出方程在时间和空间上均可以达到二阶精度的中心加权C-N格式,并对格式的稳定性及收敛性进行了分析.最后给出数值算例,验证了格式的有效性、精确性和可靠性.但该格式无法保证其离散系统的系数矩阵严格对角占优,给计算带来一定的困难.第四章,在中心加权C-N格式的基础上进行改进,提出了一种时间和空间上均可以达到二阶精度的新型加权C-N格式,该格式可使离散系统的系数矩阵严格对角占优.接着分析了格式的解的存在唯一性、稳定性及收敛性.最后给出数值算例，，验证了格式的有效性、精确性和可靠性.第五章,研究了一维的双边空间分数阶对流扩散方程的快速的有限差分解法.快速算法在和中心或新型加权C-N格式保持相同精度的前提下,通过快速Fourier变换,每个时间步长只需O(K)的存储量和O(K log2K)的计算量.最后的数值算例验证了快速算法的有效性和精确性.
【关键词】：双边空间分数阶对流扩散方程 Riemann-Liouville分数阶导数 移位Gr(u|¨)nwald公式 快速有限差分法 Toeplitz和循环矩阵
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 绪论10-15
• 1.1 分数阶微积分的历史简介10
• 1.2 分数阶微分方程的研究意义10-11
• 1.3 分数阶微分方程数值解法的国内外研究现状11-14
• 1.4 本文主要工作14-15
• 第二章 预备知识15-18
• 2.1 分数阶导数15-16
• 2.2 Toeplitz矩阵与循环矩阵16-18
• 第三章 双边空间分数阶对流扩散方程的中心加权C-N格式18-31
• 3.1 中心加权C-N格式19-23
• 3.2 稳定性分析23-25
• 3.3 收敛性分析25-28
• 3.4 数值算例28-30
• 3.5 本章小结30-31
• 第四章 双边空间分数阶对流扩散方程的新型加权C-N格式31-42
• 4.1 新型加权C-N格式31-33
• 4.2 解的存在唯一性33-34
• 4.3 稳定性分析34-37
• 4.4 收敛性分析37-40
• 4.5 数值算例40-41
• 4.6 本章小结41-42
• 第五章 一种计算量为O(Klog~2K)的快速二阶隐式有限差分解法42-49
• 5.1 一种O(K)存储量的有限差分法42-43
• 5.2 基于FFT的一种O(Klog~2K)计算量的快速有限差分法43-46
• 5.3 数值算例46-47
• 5.4 本章小结47-49
• 总结与展望49-50
• 1.总结49
• 2.展望49-50
• 参考文献50-58
• 攻读硕士学位期间取得的研究成果58-59
• 致谢59-60
• Ⅳ-2答辩委贡会对论文的评定意见60

本文编号：784756