变分方法与微分方程系统解的分析

发布时间：2017-09-12 08:13

  本文关键词：变分方法与微分方程系统解的分析

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【摘要】：变分方法研究泛函极值问题的求解。经过历代数学家的努力,求解微分方程借助于广义解的寻求和泛函极值问题最终建立起联系,从而现代变分学的中心任务演化为:构造恰当泛函,通过其临界点分析微分方程的解。很多时候方程的求解很困难,通过对泛函的临界点的研究,可以对微分方程系统的解的性态有充分的了解。泛函极值问题解的存在性与泛函的定义空间紧密相连。本文首先介绍了一些函数空间的基本知识,以搭建好变分法演出的舞台,在一定程度上具有自闭性。而后我们在此基础之上试着讨论3种不同类型的方程对应的泛函Fréchet可微的充分条件。在方程求解与泛函极值问题建立起联系后,我们需要保证泛函极值点存在这一必备条件。而极小极大化方法证明了鞍点型临界点的存在性,山路引理就是其中一则重要的结果。紧接着我们讨论了变量分离型的Hamilton系统满足山路引理的充分条件,得出了一大类2阶方程存在同宿解的结论。本文最后我们讨论了平面可积系统与Hamilton系统的一般理论,得出了一些不同于经典文献的结果,譬如判定中心型奇点的充分条件。进而用经典的Fr?mmer方法全面研究了变量分离型平面Hamilton系统孤立奇点附近的动力学。
【关键词】：变分法 Hamilton系统 山路引理 同宿解 Fr?mmer方法 奇点类型
【学位授予单位】：中国地质大学(北京)
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-7
• 第一章 绪论7-11
• 1.1 理论概况7-8
• 1.2 主要工作与研究意义8-11
• 第二章 函数空间11-22
• 2.1pL空间11-13
• 2.2 卷积与光滑逼近13-16
• 2.3 Radon测度与分布以及弱导数16-18
• 2.4 Soblev空间pmW,18-20
• 2.5 稠密定理与嵌入定理20-22
• 第三章 变分方法用于Hamilton系统解的分析22-43
• 3.1 Banach空间上的微分22-23
• 3.2 无穷区间上的分部积分公式23-24
• 3.3 积分定义的泛函24-36
• 3.3.1 几个关于范数的不等式25
• 3.3.2.Lagrange函数的作用25-30
• 3.3.3 相空间中的作用原理30-33
• 3.3.4 变量分离型Hamilton系统上的作用泛函33-36
• 3.4 变量分离型Hamilton系统的山路引理36-43
• 第四章 平面Hamilton系统43-64
• 4.1 平面可积系统43-47
• 4.1.1 极限环与中心焦点的否定43-44
• 4.1.2 中心判定的充分条件44-47
• 4.2 平面Hamilton系统47-64
• 4.2.1 成为Hamilton系统的充分条件47-48
• 4.2.2 Hamilton系统孤立奇点附近级数形式48-49
• 4.2.3 变量分离型Hamilton系统孤立奇点附近动力学49-64
• 结论64-65
• 致谢65-66
• 参考文献66-71
• 附录71

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前4条

1 陈剑军;徐涛;;实正规矩阵特征值的变分特征[J];陕西理工学院学报(自然科学版);2011年02期

2 范江华;赵康生;;集值变分不等式问题的例外簇[J];数学学报;2007年01期

3 王艳红;王世勋;;一类KdV方程的精确解[J];信阳师范学院学报(自然科学版);2010年04期

4 李培峦;袁合才;徐昌进;;变分法研究半直线上二阶微分方程由边值条件产生的多个解(英文)[J];应用数学;2012年04期

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本文编号：836065