非线性时间分数阶微分方程的数值解法

发布时间：2017-09-16 03:09

  本文关键词：非线性时间分数阶微分方程的数值解法

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【摘要】：分数阶微分方程是从实际问题中抽象出来的一类微分方程,相比于整数阶微分方程,前者能更好地模拟自然物理现象以及物质的变化规律,因此在现实生活中有非常广泛的应用.目前,分数阶微分方程的数学理论还不成熟,尤其是数值解的研究还需要进一步深入.本文主要研究非线性时间分数阶微分方程的数值解法.在本文中,分数阶导数均为Caputo定义下的分数阶导数,对方程的空间离散均应用微分求积方法.文章主要工作分为四个部分：第一部分,给出了分数阶微积分的研究意义、国内外研究现状,以及分数阶导数的基本知识,包括(分数阶导数的定义与性质,微分变换法的定义与性质,微分求积法的定义与性质以及Gs(p)算法的定义与性质).第二部分,研究了非线性时间分数阶空气动力学方程的数值解法,提出一种将空间微分求积法与时间微分变换法相结合的的新方法,并给出数值计算的构造过程和实现方法.在章节的最后给出两个数值算例,测试结果验证了方法的有效性.第三部分,讨论了一般非线性时间分数阶微分方程的数值解法.在时间上应用标准G算法对方程进行全离散,并对全离散格式作了稳定性和收敛性分析,数值测试结果也验证了该方法的精确性和可靠性,得到方法的收敛阶为1阶.第四部分,对标准的G算法做了改进,即取移位的Gs(p)算法中p=α/2得到Gα算法.此部分应用空间微分求积法/时间Gα算法对方程进行全离散,并采用预估校正思想来处理第四章中方程(4-39)的非线性项.实验对比结果表明经过多次预估校正,能够明显提高方程的求解精度与收敛阶.
【关键词】：非线性时间分数阶微分方程 Caputo分数阶导数 微分求积法 微分变换法 G_(s(p))算法 预估校正
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 绪论10-18
• 1.1 分数阶微积分的研究意义及现状10-13
• 1.1.1 分数阶微积分的研究意义10-11
• 1.1.2 分数阶微积分的研究现状11-13
• 1.2 分数阶导数的定义及性质13-16
• 1.2.1 分数阶导数的基本函数13-14
• 1.2.2 分数阶导数的定义14-15
• 1.2.3 分数阶导数的性质15-16
• 1.3 本文主要工作16-18
• 第二章 预备知识18-28
• 2.1 微分变换法18-19
• 2.1.1 微分变换法基本定义18
• 2.1.2 微分变换法的基本性质18-19
• 2.2 微分求积法19-23
• 2.2.1 微分求积法的基本定义19-21
• 2.2.2 权系数的确定21-22
• 2.2.3 节点的选取22-23
• 2.3 Riemann-Letnikov分数阶导数的G_s(p)算法23-28
• 2.3.1 G_s(p)算法的定义23-24
• 2.3.2 G_s(p)算法的性质24-28
• 第三章 非线性空气动力学方程的数值方法28-34
• 3.1 空间离散：微分求积法28-29
• 3.2 时间方法：微分变换法29-30
• 3.3 数值测试30-31
• 3.4 本章小结31-34
• 第四章 非线性时间分数阶扩散方程的数值方法34-44
• 4.1 全离散形式35-36
• 4.2 稳定性和收敛性分析36-40
• 4.3 数值算例40-42
• 4.4 本章小结42-44
• 第五章 基于改进的G_s(p)算法的预估校正方法44-52
• 5.1 G_α算法分析44-51
• 5.1.1 线性插值下的预估校正方法45-47
• 5.1.2 二次插值下的预估校正方法47-51
• 5.2 本章总结51-52
• 总结与展望52-54
• 参考文献54-59
• 攻读硕士学位期间取得的研究成果59-60
• 致谢60-61
• 附件61

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前2条

1 王鑫伟;微分求积法在结构力学中的应用[J];力学进展;1995年02期

2 叶俊杰;钱德亮;;Riemann-Liouville型分数阶微分方程的微分变换方法[J];应用数学与计算数学学报;2009年02期

中国博士学位论文全文数据库 前2条

1 王永亮;微分求积法和微分求积单元法——原理与应用[D];南京航空航天大学;2001年

2 林玉闽;时间分数阶偏微分方程的解及其应用[D];厦门大学;2008年

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1 刘剑;求解动力学问题的微分求积法研究[D];南京航空航天大学;2007年

2 张太莲;微分求积法在一类时间分数阶微分方程中的应用[D];华南理工大学;2014年

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本文编号：860510