一些三对角矩阵的数值域
本文关键词：一些三对角矩阵的数值域
【摘要】：三对角矩阵作为一类特殊的矩阵,在各个领域都有广泛应用。特别是在求解差分方程和解线性方程组中,需要对三对角矩阵进行幂和逆的计算。而样条插值和其它特殊方法的运用需要借助三对角矩阵的一些性质。众所周知实对称矩阵可以通过正交相似变换转化为三对角矩阵,因此在对称矩阵的相关研究中也用到三对角矩阵。本文给出一些三对角矩阵的数值域的证明,借助一些结论或相关定理,根据三对角矩阵数值域的性质,证明一些三对角矩阵数值域是椭圆面和圆面,其中圆面可以看做特殊的椭圆面,并能精确地确定椭圆面的中心和长轴、短轴的长度或圆面的圆心和半径的长度。首先,对一些主对角元素为零的三对角矩阵数值域为椭圆面和圆面的问题,得到如下结论。得出定义在Hilbert空间上一组标准正交基满足一定条件的三对角矩阵的数值域是椭圆面,借助Toeplitz-Hausdorff定理与结论建立联系。证明非主对角线对应元素乘积为0的三对角矩阵数值域为圆面,采用数学归纳法,基于Perron-Frobenius等一系列基础定理得出结论。解决非主对角线元素与其模之间满足特定关系的小型3?3三对角矩阵的数值域是椭圆面的问题,精确地得出椭圆的标准方程。其次,证明一个主对角线上元素为等差数列,非主对角线上元素分别相同的3?3三对角矩阵的数值域为椭圆面。分情况讨论,其中,线段也看作是特殊的椭圆面。最后,在主对角线上元素根据角标奇偶取两个不同的值,而非主对角线上相同角标元素成某种倍数关系的条件下,确定三对角矩阵的数值域是圆面。
【关键词】：三对角矩阵 数值域 椭圆面 圆面
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O151.21
【目录】：
- 摘要4-5
- ABSTRACT5-8
- 第1章 绪论8-12
- 1.1 课题来源及研究的目的和意义8-9
- 1.2 国内和国外关于三对角矩阵数值域的研究现状9-10
- 1.3 课题主要研究内容10-12
- 第2章 预备知识12-20
- 2.1 引言12
- 2.2 基础知识和结论12-16
- 2.3 基本引理和定理16-19
- 2.4 本章小结19-20
- 第3章 一些三对角矩阵数值域的特殊形状20-38
- 3.1 引言20
- 3.2 主要定理和证明20-37
- 3.2.1 一些主对角线上元素为0的三对角矩阵的数值域20-30
- 3.2.2 小型3′3 的三对角矩阵的数值域30-32
- 3.2.3 主对角元素根据角标奇偶取不同值的三对角矩阵的数值域32-37
- 3.3 本章小结37-38
- 结论38-39
- 参考文献39-43
- 致谢43
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，本文编号：869477
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