非线性偏微分方程的几类求解方法的探究及应用

发布时间：2017-09-25 21:23

  本文关键词：非线性偏微分方程的几类求解方法的探究及应用

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【摘要】：本文介绍了四种求解非线性偏微分方程(简称NLPDE)的有效方法,分别是Lie对称方法、推广的简单方程方法、推广的Tanh函数法和同伦摄动法,并重点探索了Lie对称方法与其余三种构造性方法之间的相互结合来处理NLPDE求解问题的重要思想.首先,基于计算机代数系统Mathematica,利用吴-微分特征列集算法成功获得了几个NLPDE的对称;其次,利用对称分别对这几个NLPDE实现了各种约化;最后,从每组约化后的方程中各选择一类常系数方程,分别利用上述其余三种构造性方法实现了求解,从而获得了一系列的精确解和近似解析解.通过算例证明了三种构造性方法的有效性,也同样体现出了Lie对称与其它方法结合来解决NLPDE的求解问题的可行性.第一章,介绍了NLPDE的研究和发展现状,求解NLPDE的诸多研究方法,并着重给出了Lie对称的发展现状和确定对称的方法(即吴-微分特征列集算法),使得开拓NLPDE求解方法的新途径具有重要的理论和实际意义.第二章,研究了利用推广的简单方程方法构造NLPDE精确解的整体思想,并给出几个应用举例,从而得到了以三种形式表示的新精确行波解.通过对这些结果的分析来看,证实了该方法是一个直接、有效和稳定的方法,且该方法同样适合高维情形的NLPDE的求解,也可应用于更多数学物理中的非线性问题的研究.第三章,重点研究对称方法在NLPDE求解中的新应用,即利用对称分别与推广的简单方程方法和推广的Tanh函数法相结合,并对几个NLPDE实现了求解.在这两种结合的应用中我们均获得了三种不同形式的解,且分别以双曲函数、三角函数和有理函数三种形式表示.特别的,在Lie对称方法与推广的Tanh函数法结合的应用中所得解共包含了27种不同情况.通过对结果的分析,不仅体现出了Lie对称与构造性方法结合的思想的有效性和可行性,也成为了研究NLPDE求解的新课题.第四章,在基于Lie对称与构造性方法结合的思想之上,进一步与同伦摄动法相结合,从而得到了几个NLPDE的近似解析解,并通过算例进一步证实了同伦摄动法的有效性和准确性.第五章,总结本文所研究的内容,并对求解NLPDE方法的研究提出了一些新建议.
【关键词】：对称 吴-微分特征列集算法 推广的简单方程方法 推广的Tanh函数法 同伦摄动法 偏微分方程
【学位授予单位】：内蒙古工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要3-4
• ABSTRACT4-8
• 第一章 绪论8-12
• 1.1 课题研究现状与意义8
• 1.2 Lie对称与吴-微分特征列集算法8-10
• 1.2.1 Lie对称8-9
• 1.2.2 吴-微分特征列集算法9-10
• 1.3 辅助方程方法10-11
• 1.3.1 推广的简单方程方法10-11
• 1.3.2 推广的Tanh函数法11
• 1.4 本文研究的主要内容11-12
• 第二章 推广的简单方程方法及其应用12-19
• 2.1 推广的简单方程方法12-13
• 2.2 Joseph-Egri方程的精确行波解13-15
• 2.3 守恒律形式的5阶KdV方程的精确行波解15-18
• 2.4 KP方程的精确行波解18
• 2.5 本章小结18-19
• 第三章 对称方法与辅助方程方法的结合及应用19-37
• 3.1 Lie对称方法19-20
• 3.2 (2+1)维ZK方程的对称约化及精确解20-24
• 3.2.1 (2+1)维ZK方程的对称20-21
• 3.2.2 方程(3-6)的约化过程21-22
• 3.2.3 利用推广的简单方程方法求解方程(3-16)的行波解22-24
• 3.3 (2+1)维Boussinesq方程的对称约化及精确解24-29
• 3.3.1 (2+1)维Boussinesq方程的对称25
• 3.3.2 方程(3-26)的约化过程25-26
• 3.3.3 利用推广的Tanh函数法构造方程(3-33)的精确行波解26-29
• 3.4 KP方程的对称约化及精确解29-32
• 3.4.1 KP方程的对称30
• 3.4.2 方程(3-43)的约化过程30-31
• 3.4.3 利用推广的Tanh函数法构造方程(3-48)的精确行波解31-32
• 3.5 (2+1)维KP方程的对称约化及精确解32-35
• 3.5.1 (2+1)维KP方程的对称32-33
• 3.5.2 方程(3-56)的约化33-34
• 3.5.3 利用推广的Tanh函数法构造方程(3-63)的精确行波解34-35
• 3.6 本章小结35-37
• 第四章 几个NLPDE的近似解析解37-52
• 4.1 同伦摄动法37-38
• 4.2 (2+1)维Boussinesq方程的近似解析解38-42
• 4.3 KP方程的近似解析解42-46
• 4.4 (2+1)维KP方程的近似解析解46-51
• 4.5 本章小结51-52
• 第五章 总结与展望52-53
• 参考文献53-56
• 致谢56-57
• 在读期间取得科研成果57

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前4条

1 ;Using Symbolic Computation to Exactly Solve the Integrable Broer-Kaup Equations in (2+1)-Dimensional Spaces[J];Communications in Theoretical Physics;2005年04期

2 李向正;李修勇;;F展开法的发展和两个广义KdV方程的孤立波解[J];河南科技大学学报(自然科学版);2006年05期

3 曾昕,张鸿庆;(2+1)维Boussinesq方程的Backlund变换与精确解[J];物理学报;2005年04期

4 杨征;马松华;方建平;;(2+1)维Zakharov-Kuznetsov方程的精确解和孤子结构[J];物理学报;2011年04期

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本文编号：919669