高中数学资优生运用构造法解决数学问题的个案研究

发布时间：2020-08-03 15:31

【摘要】：构造法是一种按固定的方式经有限个步骤能实现的,用来定义概念或证明命题的方法。在中学数学范围内,构造法是一种虽不普遍但十分常见的解题方法,可以用来构造所需的实例或反例,或构造辅助对象使问题得到转化。一般认为,构造法解题具有鲜明的非常规性和创造性的特点,而根据经验认识,中学数学资优生在求解这样的问题时常常能表现出很强的创造力。鉴于国内关于构造法解题的研究主要来自对方法本身的兴趣,缺乏有效的实证工作,而国外对数学问题解决的研究则不聚焦于构造法这一主题,因此本研究关注高中数学资优生运用构造法求解高难度数学问题的过程,旨在揭示他们思维过程的性质与特点,从实证角度扩充人们对数学资优生以及他们的高层次数学思维过程的认识,并为将来数学资优教育的实践提供依据。本研究选取4名具有不同成长经历与个性特点的高三数学资优生作为个案,考察他们运用构造法解题的过程的性质与特点,其中主要关注的是:(1)解题策略的运用情况如何?(2)元认知监控的表现如何?研究者经多步骤、多渠道的论证,建立了包含“考虑特殊情形”、“联想与关联”、“命题转换”、“间接构造”这4类策略以及下属子策略的“构造法解题策略表”,并选定了考察这些策略的一套测试材料。策略表的提出,是引入构造法解题理论框架的一项尝试。关于元认知监控,本研究主要从解题定向、路线控制、进程监督、结果检验这4方面来考察。对4名个案的实际探测采用出声思考方法,辅以观察与访谈,并全程录音。研究者在完整记录的口语报告材料中鉴别解题情节、策略、元认知这三方面的有关信息,再借助这些信息进行解题过程的质的分析,进而分别归纳出每名个案的解题过程特点。概括地说,4名个案在解题过程中都能以多种方式创造性地运用多项策略,但其中有1名个案未能成功使用两种子策略。他们对一项策略是否运用自如,除了与对该策略的先前体验有关,也受到知识基础与思维广度的影响。他们解题时有丰富的元认知监控行为,包括较多地在不同方向上交替思考、对路线进行反思、对结果作检验等,同时常常表现出明显的个性特点。各类元认知行为对解题的正面作用及负面影响十分复杂,因人而异。此外,他们的知识基础、情感、信念等诸多因素在解题过程中亦有所反映。对每名个案的具体讨论展开于文中。研究者对本项研究的局限性进行了充分讨论,并对未来研究提出了若干建议,尤其论述了将构造法解题用于数学资优教育的潜在价值与潜在可能。本研究可供未来数学资优生鉴别、评价、教学干预等实践项目作为参考。
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：G633.6
【图文】：

华东师范大学博士学位论文”。他提醒自己冷静下来，费了好大的劲，终于得到 a =- 1, b= “猜答案”的步骤。刚想进行严格论证，却不知怎么以为自己把 a ,b的符号弄反了。由一遍，他想到代特殊值检验的方法，推断出 b= 2 + 1，而不是相 分半的圈子，他又回到了 a =- 1, b= 2 + 1，开始想怎么严格论证时他知道几何意义已经很明显：直线应通过上方圆弧的两个端点，相切。受此启发，他想到“0，2，还有一个是切点，三个方程我去，但是他又嫌找切点麻烦，最终还是选择继续在几何视角下考虑问想到了调整法用以完成论证。他给出的书面解答如图 4-5 所示。

在构造出含 1 的集合1A 后，对于剩下的元素，他则根据开始的想法，按子进行分类，构造出一列集合2 3A , A, 。他认为1A 中元素的稀疏性足 3 , A, 仍是无穷集合。从 6 分 10 秒起，他开始作这一补充证明，但表跃。他的论证方式大体是：对每个集合 ( 2)kA k 3 ，考虑k1A A 中特殊素，估计出这列元素至多仅以14密度落入1A ，从而必有无限多个元素两分多钟内，他一直流畅地着报告着推理过程，期间还轻描淡写地提的假设”（即“对任意正整数n，区间( n , 2 n ]必含有素数”这一定理），一定理自如地进行元素个数估计，直到完成最后的证明。此时距解题开 分 28 秒。主试请他写一个详细过程，一方面考察其书面表达的质量（他的草稿十另一方面也用于确认口语报告的模糊之处（他的思考速度太快，多处不详）。他花了约 9 分钟完成了书面解答，思路清晰，语义明了（见图

本文编号：2779830