学生在数学学习中对无限的认识探究

发布时间：2020-10-31 20:04

　　 数学是无限的科学，数学无限是推动数学发展的重要动力，但无限隐藏在相关数学概念中，中学对数学无限一般避而不谈。中学数学大纲没有明确提出学生对“无限”的认识目标。特别是学生对极限概念理解困难，极限概念成为学生学习微积分的“拦路虎”。鉴于此，笔者分层次考察学生对无限的认识，主要从以下两方面着手： 线索一：学生对无限诸层次的认识状况。 (1)初三、高三和大二学生实际达到的无限水平如何?影响学生诸层次无限认识的本质因素是什么? (2)在给出的每一层次的标准尺度的基础上，学生表现出怎样的较稳定的认知方式?容易出现哪些错误的心理模式? 线索二：学生对相关数学无限概念的理解 (1)学生如何认识数学概念中的无限?表现出哪些比较稳定的认知方式? (2)学生认识数学概念中的无限过程中容易出现哪些错误心理模式? 首先，笔者界定了本文研究的无限。学生学习的数学中没有直接给出无限的定义，也不可能直接给出定义。无限包含于具体的数学概念中。有的以显性方式呈现，如自然数、平行线；有的隐含于数学概念中，如函数单调性、交换律。有的存在于某一特定对象的无限过程中，比如函数极限、从集合出发的超限数理论。本文研究的无限是具体数学概念中包含的无限。 接着，从数学哲学、数学发展史、认识论三个角度出发，笔者将学生对无限的认识划分为5大层级，八大层次的金字塔结构。 笔者界定了每一层次的涵义，并分析了各个层次之间的关系，并根据文献资料，精心编制了无限认识量表，在此基础上对学生的无限认识展开了研究。 笔者以Spiro(1991)提出的个体学习的认知弹性理论，美国数学教育学家Ed Dubinsky的APOS理论为依据，运用潜、实无限辩证分析法、无限—有限辩证分析等方法，对学生的无限认识进行分析。 笔者选取了小学、初中、高中、大学二年级共计500多学生作为实证研究的样本，作了问卷测试，并分别从每一年级各选出8名学生共计24名学生作为个案研究对象，对学生的个别访谈作了全程录像或录音。还对初三年级、高中、大二年级的部分教师作了访谈。获取了第一手数据资料后，用SPSS统计软件对数据进行统计分析。横向比较了同一年龄的不同学生的理解层次。通过个案访谈，笔者从数学无限的理解、数学思维、学生心理方面，分析了学生的无限认识状况，纵向比较了不同年龄学生的无限认识状况，分析了学生无限认识的心理倾向，得到了以下结论： 1．从初三到高三学生无限认识的总体发展趋势 高中阶段是学生无限水平蓬勃发展的阶段，具体表现为从初三到高三，学生的无限直觉水平、无限思辩能力显著提高，但到大二，这两方面并无显著差异。高三学生的无限直觉水平、无限思辩能力具有一定的稳定性。 2．学生对无限本质的认识 (1)“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志； (2)“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素； (3)“动态分析”是演绎层次的重要标志； (4)理解极限的ε-δ定义中的“有分界”的无限是关键。 3．学生对数学无限概念的认识 (1)大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足 (2)影响学生理解ε-δ定义的原因分析 4．学生无限认识的心理倾向 (1)生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识 (2)高三学生的无限思辩的心理倾向性特点 (3)大二学生对“一一对应”和超限数的认识倾向 在以上结论的基础上，对数学教学提出了建设性意见和建议： 1．在教学中注重学生无限观的培养 (1)在教学中抓住无限认识的开端 (2)启发学生整体认知数学概念 (3)教学中有意识采取有利于学生无限思辩的教学方法 (4)注重对极限概念的动态分析 (5)教学中注重对ε-δ定义中的“有分界”的无限的诠释 (6)关于超限数理论的教学 2注重提高中学教师的数学无限素养 3对教材体系安排的一点建议 4建议在数学课标中体现无限观培养的具体要求 (1)明确提出无限观培养目标 (2)建议在中学数学课程标准中增加无限观培养的一个实例 5对教学评价的建议
【学位单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2007
【中图分类】：G633.6
【部分图文】：

幼帕83阳4雌4，曰33曰怪22福福_赢__、藏二痴赢赢 赢……片……妙砂坷二 二图5一12T:说出图像在哪些时段内是升高的，怎样用数学语言刻画“随时间的推移图像逐步升高”这一特征?(2)授课过程投影展示问题1:观察下列函数的图像(三组)指出各组图像有什么共同的特征?第一组:y，fl(x)川了一.~代图1第二组:

口潜、实无限辩证法图6一8从图6一8看出，学生较多运用潜无限法，而实无限法和潜、实无限辩证法运用较少。潜无限法符合学生的思维习惯，自然是学生使用更多的方法。事实上，笔者对样本分析得出两种思辩方式的平均得分比较如下:表6一2高三学生潜无限标准和实无限标准平均得分比较潜 潜潜无限标准准实无限标准准答答对人数数 1933319333缺缺失值 值 000000平平均值 值 21.144417.3666由表6一2看出，高三学生在潜无限标准下的平均得分高于实无限标准下平均得分。这个差异是否显著?笔者进一步讨论如下:

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【引证文献】

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本文编号：2864443