中学向量课程与教学的研究

发布时间：2020-04-30 07:02

【摘要】： 向量是高中数学课程的重要内容。向量作为一种不同于数的量，有自己独特的运算结构和系统，学习向量有助于发展学生对“数、量和运算”的认识。向量几何提供了一种认识空间和图形的新方法，使学生初步领略机械化的现代数学思想。向量是现代数学的基本概念之一，可以使师生从一种新的角度诠释许多初等数学知识，并为学习高等数学中线性代数理论奠定基础。近几年，从数学角度探索向量教与学的研究多是探讨技术进入数学课程后怎样影响学生数学概念的发展以及解题途径的产生。向量概念包括方向和大小两个维度，有几何图像和代数坐标等多种表征方式。这给教学和学生的概念理解都带来一定困难。向量进入我国高中数学课程后，引起广大师生的极大关注和兴趣。但国内数学教育研究领域对向量教学中许多重要而基础的问题一直缺少实证研究。例如普通高中数学课程标准中要求学生“理解平面向量概念”，“能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。”，“体会向量方法在研究几何问题中的作用”，等等。因此，我们试图通过对向量教学中四个基本问题的探讨来反映当前的现状和问题。我们首先以SOLO，APOS等教学理论为基础检验学生对向量概念(几何图象和代数坐标)的理解水平，以及与向量概念有关的错误类型。我们选择302名高二学生为被试，利用测试卷、访谈、个案研究作为研究工具。研究发现，对于检验向量概念的测试题，有约占总数22％的学生在几何图像方面达到水平4，约占总数3％的学生在代数符号方面达到水平4，只有约2％的学生在几何图像和代数符号两个方面都达到灵活协调阶段。大多数学生没有建构自由向量概念。学生更倾向于应用向量的几何图像表征处理问题。把向量看作一段距离或一个数是向量错误的主要类型。其次，我们检验了用向量法处理立体几何度量与位置关系问题的教学效果。以测试卷和调查表为工具，我们对368名高三学生怎样处理能用两种方法(综合法与向量法)解决的立体几何(位置关系与角的度量)问题以及学生对两种方法特征的认识进行了研究。研究结果表明：同时用两种方法处理问题的学生(EV型)人数最多，仅使用综合法(E型)的人数略高于仅使用向量法(V型)的人数。但V类型学生的解法似乎更有效，成功率高于E类型学生。而且EV类型学生的得分结果也表明，向量方法的正确率高于综合法。我们还分析了两种错误类型——一般性错误与向量错误。对E类型和EV类型学生来说，一般性错误主要出现在逻辑推理方面，其次是技术性错误，误用题目信息，误用定理或定义。对于运用向量方法的学生，V类型学生和EV类型学生(应用向量法部分)的一般性错误类型都是数学语言转换。向量坐标计算错误是向量错误的主要类型。对于两种方法(综合法与向量法)特征的认识，研究表明学生认为综合法的最主要优点是：综合法是解决立体几何问题的基本方法(向量只能处理个别问题)。综合法的最主要缺点是不会做辅助线以及找不到要求的线或角。学生认为向量法的最主要优点是方法简洁有效，向量法的主要缺点是计算繁琐易出错。第三，我们以皮亚杰的图式理论为基础，从知识关联性的角度研究了教师的向量概念。我们以测试卷、访谈、个案研究为工具，对23名教师进行了调查。结果表明：大多数教师不能以一种系统的观点去看待向量概念及其一些变换，例如，他们对向量概念的理解仅限于教材中的定义——“向量是既有大小又有方向的量”。他们虽然能判断一个线性方程组有无解，但不能表示出解空间的结构。他们认为复数、矩阵与向量概念有许多相似，但看不清几个概念之间的关系。第四，我们通过对上海、沈阳和石家庄三地1069位教师的问卷调查和其后三位教师的访谈，调查高中教师对向量在高中数学课程中作用的态度，教师相关教学知识的发展途径，教师希望进一步培训的内容，等等。结果表明：立体几何简化论和解题方法的多样性是大多数教师对向量进入高中数学课程的基本认识。最后，我们通过反思和整合各项研究结果，得出如下结论：(1)教材和教学没有重视培养学生的自由向量概念。(2)立体几何用两种方法(综合法和向量法)处理没有引起学生的思维冲突，但仍受欧氏几何影响较深。(3)大多数教师具有的向量知识以程序性经验为主。(4)囿于自身经验积累和反思，以及同水平经验分享的知识发展途径影响了教师教学内容知识(向量概念)的进一步发展。据此，我们对向量教学、教材编写以及教师培训提出若干建议：(1)教材应明确提出自由向量概念。(2)改进向量定义的叙述方式。(3)教学应展现向量概念从不同的物理情境到数学概念的抽象过程，，突出自由向量的概念本质。(4)加强向量的代数坐标表示及运算的教学。(5)探索和推广新的教师教育发展模式势在必行。
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2007
【分类号】：G633.6

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